01
Funktionen und Gleichungen
Lineare Funktionen
Steigung, Achsenabschnitt, Nullstelle und Punktsteigungsform interaktiv untersuchen.
y = mx + b
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Wirtschaftliche Formelsammlung
Formeln, Erklärungen und interaktive Lernmodule für Wirtschaftsmathematik, Finanzmathematik und Investitionsrechnung.
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02
Funktionen und Gleichungen
Quadratische Funktionen
Parabel, Scheitelpunkt, Nullstellen und Parameterwirkungen direkt nachvollziehen.
f(x) = ax² + bx + c
Öffnen 03
Funktionen und Gleichungen
pq-Formel
Nullstellen quadratischer Gleichungen berechnen und den Lösungsweg prüfen.
x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)
Öffnen 04
Funktionen und Gleichungen
Quadratische Ergänzung
Die Scheitelpunktform Schritt für Schritt aus der Normalform entwickeln.
x² + px = (x + p/2)² − (p/2)²
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Funktionen und Gleichungen
Potenz- und Exponentialfunktionen
Potenzgesetze, Exponentialwachstum und die e-Funktion interaktiv vergleichen.
f(x) = a · bˣ
Öffnen 06
Funktionen und Gleichungen
Logarithmusfunktionen
Logarithmusregeln, natürliche Logarithmen, Ableitung und Graph verstehen.
logᵦ(x) = ln(x) / ln(b)
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Funktionen und Gleichungen
Kosten, Erlös und Gewinn
Wirtschaftliche Funktionen, Deckungsbeitrag und Gewinnschwellen modellieren.
G(x) = E(x) − K(x)
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Analysis und lineare Algebra
Differenzialquotient
Die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten sichtbar machen.
f′(x) = limₕ→₀ [f(x+h) − f(x)] / h
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Analysis und lineare Algebra
Ableitungsregeln
Summen-, Produkt-, Quotienten-, Ketten- und Potenzregel anwenden.
(f · g)′ = f′g + fg′
Öffnen 10
Analysis und lineare Algebra
Vektoren
Vektorsumme, Skalarprodukt, Kreuzprodukt und Cauchy-Schwarz untersuchen.
a · b = |a| |b| cos(φ)
Öffnen 11
Analysis und lineare Algebra
Matrizen
Matrizenrechnung, Multiplikation, Determinante und Inverse interaktiv bearbeiten.
A · A⁻¹ = I
Öffnen 12
Z = K₀ · i · n
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Kₙ = K₀(1 + i)ⁿ
Öffnen 14
K = K₀(1+i)ⁿ(1+i·t)
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Rₙ = r · ((qⁿ − 1) / (q − 1))
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Finanzmathematik
Vorschüssige Renten
Zahlungen zu Periodenbeginn und ihre finanzmathematischen Folgen verstehen.
R̈ₙ = r · q · ((qⁿ − 1) / (q − 1))
Öffnen 17
Finanzmathematik
Veränderliche Renten
Arithmetisch und geometrisch veränderliche Rentenzahlungen modellieren.
rₜ = r₁ · gᵗ⁻¹
Öffnen 18
T = K₀ / n
Öffnen 19
Finanzmathematik
Annuitätentilgung
Konstante Annuität, Zinsanteil, Tilgungsanteil und Restschuld berechnen.
A = K₀ · [i(1+i)ⁿ / ((1+i)ⁿ−1)]
Öffnen 20
Investition
Investitionsrechnung
Kapitalwert, internen Zinssatz, Annuität und Vermögensendwert analysieren.
C₀ = −A₀ + Σ CFₜ / (1+i)ᵗ
Öffnen 21
Mathematische Grundlagen
Aussagenlogik und Wahrheitstafeln
Logische Verknüpfungen, Implikation, Äquivalenz und Wahrheitstafeln.
p ∧ q; p ∨ q; p ⇒ q
Öffnen 22
Funktionen und Gleichungen
Kegelschnitte: Ellipse und Hyperbel
Ellipse und Hyperbel mit Parametern, Brennpunkten und grafischer Darstellung.
x²/a² + y²/b² = 1
Öffnen 23
Mathematische Grundlagen
Arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel
Drei Mittelwerte berechnen, vergleichen und fachlich einordnen.
A = (a+b)/2; G = √(ab); H = 2ab/(a+b)
Öffnen 24
Analysis und lineare Algebra
Numerische Integration
Mittelpunktregel, Keplersche Fassregel und Simpson-Formel vergleichen.
∫ f(x)dx ≈ Simpson-Formel
Öffnen 25
Mathematische Grundlagen
Potenzen, Wurzeln und Potenzgesetze
Potenz- und Wurzelgesetze sowie rationale Exponenten sicher anwenden.
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
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Volkswirtschaft und Wirtschaftsindikatoren
Fisher-Gleichung: Realzins
Nominalzins, Inflation und realen Zinsertrag konsistent miteinander verknüpfen.
r = (1+i)/(1+π) − 1
Öffnen 27
Volkswirtschaft und Wirtschaftsindikatoren
Inflationsrate
Die prozentuale Veränderung eines Preisindex zwischen zwei Perioden bestimmen.
πₜ = (Pₜ − Pₜ₋₁) / Pₜ₋₁ · 100
Öffnen 28
Volkswirtschaft und Wirtschaftsindikatoren
BIP-Wachstumsrate
Die relative Veränderung des realen Bruttoinlandsprodukts messen.
gₜ = (Yₜ − Yₜ₋₁) / Yₜ₋₁ · 100
Öffnen 29
Volkswirtschaft und Wirtschaftsindikatoren
Bruttoinlandsprodukt nach Verwendungsrechnung
Das Bruttoinlandsprodukt aus den gesamtwirtschaftlichen Nachfragekomponenten bestimmen.
Y = C + I + G + (X − M)
Öffnen 30
Volkswirtschaft und Wirtschaftsindikatoren
BIP-Deflator
Das Preisniveau der im Inland produzierten Güter und Dienstleistungen erfassen.
P = nominales BIP / reales BIP · 100
Öffnen 31
Volkswirtschaft und Wirtschaftsindikatoren
Reales Bruttoinlandsprodukt
Das nominale BIP um Preisänderungen bereinigen.
reales BIP = nominales BIP / Preisindex · 100
Öffnen 32
Volkswirtschaft und Wirtschaftsindikatoren
BIP je Einwohner
Die durchschnittliche Wirtschaftsleistung je Einwohner berechnen.
BIP je Einwohner = BIP / Bevölkerung
Öffnen 33
Volkswirtschaft und Wirtschaftsindikatoren
Arbeitslosenquote
Den Anteil der Arbeitslosen an den Erwerbspersonen bestimmen.
u = Arbeitslose / Erwerbspersonen · 100
Öffnen 34
Volkswirtschaft und Wirtschaftsindikatoren
Erwerbsquote
Die Beteiligung der Bevölkerung im Erwerbsalter am Arbeitsmarkt messen.
Erwerbsquote = Erwerbspersonen / Bevölkerung im Erwerbsalter · 100
Öffnen 35
Volkswirtschaft und Wirtschaftsindikatoren
Einfacher Geldschöpfungsmultiplikator
Den theoretischen Zusammenhang zwischen Mindestreserve und Geldschöpfung darstellen.
m = 1 / Mindestreservesatz
Öffnen 36
Volkswirtschaft und Wirtschaftsindikatoren
Quantitätsgleichung des Geldes
Geldmenge, Umlaufgeschwindigkeit, Preisniveau und reale Produktion verbinden.
M · V = P · Y
Öffnen 37
Volkswirtschaft und Wirtschaftsindikatoren
Umlaufgeschwindigkeit des Geldes
Die Häufigkeit bestimmen, mit der eine Geldeinheit für Transaktionen eingesetzt wird.
V = nominales BIP / Geldmenge
Öffnen 38
Volkswirtschaft und Wirtschaftsindikatoren
Marginale Konsumquote
Die Veränderung des Konsums bei einer Veränderung des verfügbaren Einkommens messen.
c = ΔC / ΔYd
Öffnen 39
Volkswirtschaft und Wirtschaftsindikatoren
Keynesianischer Ausgabenmultiplikator
Die gesamtwirtschaftliche Einkommenswirkung autonomer Nachfrageänderungen abschätzen.
k = 1 / (1 − c)
Öffnen 40
Volkswirtschaft und Wirtschaftsindikatoren
Steuermultiplikator
Die Einkommenswirkung einer Veränderung autonomer Steuern abschätzen.
kT = −c / (1 − c)
Öffnen 41
Mikroökonomie
Punktpreiselastizität der Nachfrage
Die relative Nachfragereaktion auf eine marginale Preisänderung messen.
ε = (dQ/dP) · (P/Q)
Öffnen 42
Mikroökonomie
Bogenelastizität
Die Elastizität zwischen zwei beobachteten Preis-Mengen-Punkten berechnen.
ε = (ΔQ / Q̄) / (ΔP / P̄)
Öffnen 43
Mikroökonomie
Einkommenselastizität der Nachfrage
Die Nachfragereaktion auf Einkommensänderungen messen.
εQ,Y = relative Mengenänderung / relative Einkommensänderung
Öffnen 44
Mikroökonomie
Kreuzpreiselastizität
Die Nachfragereaktion eines Gutes auf die Preisänderung eines anderen Gutes messen.
εA,B = relative Änderung QA / relative Änderung PB
Öffnen 45
GK(x) = K′(x)
Öffnen 46
DK(x) = K(x) / x
Öffnen 47
Mikroökonomie
Gewinnmaximum
Die gewinnmaximale Menge über die Gleichheit von Grenzerlös und Grenzkosten bestimmen.
Grenzerlös = Grenzkosten
Öffnen 48
Nachfrage(P*) = Angebot(P*)
Öffnen 49
Mikroökonomie
Konsumentenrente
Die Konsumentenrente bei linearer Nachfrage als Dreiecksfläche berechnen.
KR = ½ · (Pmax − P*) · Q*
Öffnen 50
Mikroökonomie
Herfindahl-Hirschman-Index
Die Konzentration eines Marktes anhand quadrierter Marktanteile messen.
HHI = Σ Marktanteilᵢ²
Öffnen 51
Controlling und Finanzierung
Gewichtete Kapitalkosten (WACC)
Eigen- und Fremdkapitalkosten zu einem Unternehmenszinssatz zusammenführen.
WACC = E/(D+E)·rE + D/(D+E)·rD·(1−s)
Öffnen 52
Controlling und Finanzierung
Capital Asset Pricing Model (CAPM)
Die erwartete Eigenkapitalrendite aus systematischem Risiko ableiten.
rE = rf + β · (rM − rf)
Öffnen 53
Controlling und Finanzierung
Eigenkapitalkosten nach Gordon Growth
Eigenkapitalkosten aus erwarteter Dividendenrendite und Wachstum ableiten.
rE = D₁/P₀ + g
Öffnen 53
Controlling und Finanzierung
Eigenkapitalkosten nach Gordon Growth
Eigenkapitalkosten aus erwarteter Dividendenrendite und Wachstum ableiten.
rE = D₁/P₀ + g
Öffnen 54
Controlling und Finanzierung
Anleihekurs
Den Barwert der Kuponzahlungen und der Rückzahlung einer Anleihe bestimmen.
P = Σ C/(1+y)ᵗ + N/(1+y)ⁿ
Öffnen 55
Controlling und Finanzierung
Laufende Anleiherendite
Die laufende Verzinsung einer Anleihe bezogen auf ihren Marktpreis berechnen.
laufende Rendite = Kupon / Kurs · 100
Öffnen 56
Controlling und Finanzierung
Näherungsrendite einer Anleihe
Die Effektivverzinsung einer Kuponanleihe näherungsweise bestimmen.
y ≈ [C + (N−P)/n] / [(N+P)/2]
Öffnen 57
Controlling und Finanzierung
Macaulay-Duration
Die durchschnittliche kapitalgewichtete Bindungsdauer einer Anleihe bestimmen.
DM = Σ[t·Barwert(CFt)] / Kurs
Öffnen 58
Controlling und Finanzierung
Modifizierte Duration
Die approximative prozentuale Kursreaktion auf eine Zinsänderung bestimmen.
Dmod = DM / (1+y)
Öffnen 59
Controlling und Finanzierung
Interner Zinsfuß
Den Zinssatz bestimmen, bei dem der Kapitalwert einer Investition null ist.
0 = −I₀ + Σ CFₜ/(1+r)ᵗ
Öffnen 60
Controlling und Finanzierung
Profitabilitätsindex
Den Barwert der Rückflüsse je eingesetzter Geldeinheit bestimmen.
PI = Barwert der Rückflüsse / Anfangsinvestition
Öffnen 61
Controlling und Finanzierung
Return on Investment (ROI)
Die Verzinsung des insgesamt eingesetzten Kapitals messen.
ROI = Gewinn / Gesamtkapital · 100
Öffnen 62
Controlling und Finanzierung
Eigenkapitalrentabilität (ROE)
Die Verzinsung des von Eigentümern bereitgestellten Kapitals messen.
ROE = Jahresüberschuss / Eigenkapital · 100
Öffnen 62
Controlling und Finanzierung
Eigenkapitalrentabilität (ROE)
Die Verzinsung des von Eigentümern bereitgestellten Kapitals messen.
ROE = Jahresüberschuss / Eigenkapital · 100
Öffnen 63
Controlling und Finanzierung
Gesamtkapitalrentabilität (ROA)
Die operative Verzinsung des gesamten eingesetzten Kapitals messen.
ROA = EBIT / Gesamtkapital · 100
Öffnen 64
EBIT-Marge = EBIT / Umsatz · 100
Öffnen 65
Controlling und Finanzierung
Break-even-Menge
Die Absatzmenge bestimmen, bei der Erlöse und Kosten gleich hoch sind.
xBE = fixe Kosten / (Preis − variable Stückkosten)
Öffnen 66
Controlling und Finanzierung
Stückdeckungsbeitrag
Den Beitrag einer verkauften Einheit zur Deckung fixer Kosten bestimmen.
db = Preis − variable Stückkosten
Öffnen 66
Controlling und Finanzierung
Stückdeckungsbeitrag
Den Beitrag einer verkauften Einheit zur Deckung fixer Kosten bestimmen.
db = Preis − variable Stückkosten
Öffnen 67
Controlling und Finanzierung
Gesamtdeckungsbeitrag
Den gesamten Beitrag zur Deckung fixer Kosten und zum Gewinn bestimmen.
DB = Umsatz − variable Kosten
Öffnen 68
Controlling und Finanzierung
Deckungsbeitragsquote
Den Deckungsbeitrag als Anteil des Umsatzes ausdrücken.
DBQ = Deckungsbeitrag / Umsatz · 100
Öffnen 69
Controlling und Finanzierung
Working Capital
Den langfristig finanzierten Anteil des Umlaufvermögens bestimmen.
Working Capital = Umlaufvermögen − kurzfristiges Fremdkapital
Öffnen 70
Controlling und Finanzierung
Liquidität 3. Grades
Die Deckung kurzfristiger Verpflichtungen durch das Umlaufvermögen messen.
Liquidität 3. Grades = Umlaufvermögen / kurzfristige Verbindlichkeiten · 100
Öffnen 71
Rechnungswesen und Unternehmenskennzahlen
Bilanzgleichung
Die grundlegende Gleichheit von Mittelverwendung und Mittelherkunft darstellen.
Vermögen = Eigenkapital + Fremdkapital
Öffnen 72
Rechnungswesen und Unternehmenskennzahlen
Lineare Abschreibung
Den jährlich konstanten planmäßigen Werteverzehr berechnen.
Abschreibung = (Anschaffungskosten − Restwert) / Nutzungsdauer
Öffnen 73
Rechnungswesen und Unternehmenskennzahlen
Lagerumschlagshäufigkeit
Bestimmen, wie oft der durchschnittliche Lagerbestand umgesetzt wird.
Lagerumschlag = Wareneinsatz / durchschnittlicher Lagerbestand
Öffnen 74
Rechnungswesen und Unternehmenskennzahlen
Durchschnittliche Lagerdauer
Die durchschnittliche Verweildauer von Waren im Lager abschätzen.
Lagerdauer = 365 / Lagerumschlag
Öffnen 75
Rechnungswesen und Unternehmenskennzahlen
Forderungsumschlag
Bestimmen, wie oft der durchschnittliche Forderungsbestand umgesetzt wird.
Forderungsumschlag = Umsatz / durchschnittliche Forderungen
Öffnen 76
Rechnungswesen und Unternehmenskennzahlen
Debitorenlaufzeit (DSO)
Die durchschnittliche Zeit bis zum Zahlungseingang bestimmen.
DSO = 365 / Forderungsumschlag
Öffnen 77
Rechnungswesen und Unternehmenskennzahlen
Eigenkapitalquote
Den Anteil des Eigenkapitals an der Bilanzsumme messen.
Eigenkapitalquote = Eigenkapital / Gesamtkapital · 100
Öffnen 78
Rechnungswesen und Unternehmenskennzahlen
Fremdkapitalquote
Den Anteil des Fremdkapitals an der Bilanzsumme messen.
Fremdkapitalquote = Fremdkapital / Gesamtkapital · 100
Öffnen 78
Rechnungswesen und Unternehmenskennzahlen
Fremdkapitalquote
Den Anteil des Fremdkapitals an der Bilanzsumme messen.
Fremdkapitalquote = Fremdkapital / Gesamtkapital · 100
Öffnen 79
Rechnungswesen und Unternehmenskennzahlen
Produktivität
Das mengenmäßige Verhältnis von Leistung und Faktoreinsatz messen.
Produktivität = Output / Input
Öffnen 80
Rechnungswesen und Unternehmenskennzahlen
Wirtschaftlichkeit
Das wertmäßige Verhältnis von betrieblicher Leistung und Mitteleinsatz messen.
Wirtschaftlichkeit = Ertrag / Aufwand
Öffnen 81
Statistik
Gewichtetes arithmetisches Mittel
Einen Mittelwert bei unterschiedlich wichtigen Beobachtungen berechnen.
x̄w = Σ(wᵢxᵢ) / Σwᵢ
Öffnen 82
Statistik
Varianz einer Grundgesamtheit
Die mittlere quadratische Abweichung vom Populationsmittelwert messen.
σ² = Σ(xᵢ−μ)² / N
Öffnen 83
s² = Σ(xᵢ−x̄)² / (n−1)
Öffnen 84
s = √Varianz
Öffnen 85
CV = Standardabweichung / Mittelwert · 100
Öffnen 86
sxy = Σ[(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)] / (n−1)
Öffnen 87
Statistik
Pearson-Korrelationskoeffizient
Stärke und Richtung eines linearen Zusammenhangs normiert messen.
r = Kovarianz / (sx · sy)
Öffnen 88
Statistik
Regressionskoeffizient der einfachen Regression
Die Steigung der linearen Kleinste-Quadrate-Regressionsgeraden bestimmen.
b₁ = Σ[(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)] / Σ(xᵢ−x̄)²
Öffnen 89
Statistik
Achsenabschnitt der linearen Regression
Den Achsenabschnitt der einfachen linearen Regression bestimmen.
b₀ = ȳ − b₁x̄
Öffnen 90
R² = 1 − Residuenquadratsumme / Gesamtquadratsumme
Öffnen 91
Statistik
Standardfehler des Mittelwerts
Die Stichprobenstreuung des geschätzten Mittelwerts bestimmen.
SE = s / √n
Öffnen 92
z = (x − μ) / σ
Öffnen 93
Statistik
Konfidenzintervall für den Mittelwert bei bekannter Varianz
Ein Konfidenzintervall für einen Mittelwert bei bekannter Populationsstreuung bilden.
x̄ ± z · σ/√n
Öffnen 94
Statistik
Konfidenzintervall für den Mittelwert mit t-Verteilung
Ein Konfidenzintervall bei unbekannter Populationsvarianz bilden.
x̄ ± t · s/√n
Öffnen 95
Statistik
Konfidenzintervall für einen Anteilswert
Einen unbekannten Populationsanteil mit einem Intervall schätzen.
p̂ ± z · √[p̂(1−p̂)/n]
Öffnen 96
z = (x̄ − μ₀) / (σ/√n)
Öffnen 97
t = (x̄ − μ₀) / (s/√n)
Öffnen 98
Statistik
Chi-Quadrat-Teststatistik
Abweichungen beobachteter von erwarteten Häufigkeiten zusammenfassen.
χ² = Σ (beobachtet − erwartet)² / erwartet
Öffnen 99
Statistik
Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen
Den langfristigen gewichteten Mittelwert möglicher Ergebnisse bestimmen.
E(X) = Σ xᵢpᵢ
Öffnen 100
Statistik
Binomialverteilung
Die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge in n unabhängigen Versuchen berechnen.
P(X=k) = (n über k) · pᵏ · (1−p)ⁿ⁻ᵏ
Öffnen 101
Volkswirtschaft und Wirtschaftsindikatoren
Fiskalische Maastricht-Kriterien
Defizit- und Schuldenquote im Verhältnis zum Bruttoinlandsprodukt bestimmen.
Defizitquote = Defizit / BIP · 100; Schuldenquote = Schuldenstand / BIP · 100
Öffnen Keine passende Formel gefunden.