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FORMEL · LERNMODUL

Veränderliche Renten

Arithmetisch und geometrisch veränderliche Rentenzahlungen modellieren.

Kernkatalog
Grundformel
rₜ = r₁ · gᵗ⁻¹
r_t=r_1cdot g^{t-1}

Einordnung

Arithmetisch und geometrisch veränderliche Rentenzahlungen modellieren.

Anzahl Zahlungen n 5
Summe Zahlungen 7.000,00 €
Rentenbarwert R₀ 5.930,66 €
Rentenendwert Rₙ 7.567,84 €

4 Rentenrechnung

Veränderliche nachschüssige Zahlungsreihen

Allgemeiner Rentenbarwert

\[ R_0=\sum_{t=1}^{n} r_t q^{-t} \]

Jede Zahlung \(r_t\) wird auf den Anfangszeitpunkt abgezinst und anschließend aufsummiert.

Allgemeiner Rentenendwert

\[ R_n=q^n\sum_{t=1}^{n} r_t q^{-t} \]

Alternativ lässt sich jede Zahlung direkt bis zum Endzeitpunkt aufzinsen. Beides liefert denselben Endwert.

4.3 Veränderliche nachschüssige Renten

Allgemeine und spezielle Formeln

Rentenendwert

\[ R_n=q^n\sum_{t=1}^{n} r_t q^{-t} \]

Rentenbarwert

\[ R_0=\sum_{t=1}^{n} r_t q^{-t} \]

Zinssatz Endwertgleichung

Wenn der Endwert vorgegeben ist und die Zahlungen \(r_t\) bekannt sind, kann der Zinssatz numerisch bestimmt werden.

Funktion
\[ f(i)=-R_n+q^n\sum_{t=1}^{n} r_t q^{-t} \]
Ableitung
\[ f'(i)=q^{n-1}\sum_{t=1}^{n}(n-t)r_tq^{-t} \]

Zinssatz Barwertgleichung

Wenn der Barwert vorgegeben ist und die Zahlungen \(r_t\) bekannt sind, ergibt sich der Zinssatz ebenfalls numerisch.

Funktion
\[ f(i)=-R_0+\sum_{t=1}^{n} r_t q^{-t} \]
Ableitung
\[ f'(i)=-q^{-1}\sum_{t=1}^{n}tr_tq^{-t} \]

Rentenbarwert bei arithmetisch fortschreitenden Renten mit endlicher Laufzeit

\[ R_0=r\frac{q^n-1}{iq^n}+\frac{d}{iq^n}\left(\frac{q^n-1}{i}-n\right) \]

Rentenbarwert bei arithmetisch fortschreitenden Renten mit ewiger Laufzeit

\[ R_0=\left(r+\frac{d}{i}\right)\frac{1}{i} \]

Rentenbarwert bei geometrisch fortschreitenden Renten mit ewiger Laufzeit

Barwertformel
\[ R_0=\frac{r}{i-w} \]
Voraussetzung für einen endlichen Barwert
\[ 0<w<i \]

Rechner für allgemeine Zahlungsreihen

Beliebige nachschüssige Rentenfolge eingeben

Eingabewerte

Zahlungsreihe mit Reglern erzeugen Die Liste darunter wird automatisch aktualisiert.
Komma, Semikolon oder Zeilenumbruch als Trennzeichen möglich.

Ergebnisse

Rentenbarwert R₀ 5.930,66 € \(\displaystyle R_0=\sum_{t=1}^{n}r_tq^{-t}\)
Rentenendwert Rₙ
Anzahl Zahlungen n
Summe der Zahlungen
Durchschnittliche Zahlung
Ausgewählte Zahlung rₖ
Kumulierte Zahlungen bis k
Kumulierter Endwert bis k
Zinsfaktor q
Allgemeine Rentenfolge berechnet Die Zahlungen werden am Ende jeder Periode geleistet.

Zinssatz numerisch bestimmen

Newton-Verfahren für allgemeine Zahlungsreihen

Bekannte Werte

Inverse Berechnung

Gesuchter Zinssatz i
Verwendete Gleichung
Kontrollwert
Bereit Wählen Sie Zielwert und Zahlungsreihe.

Spezialfälle

Arithmetisch und geometrisch fortschreitende Renten

Spezialfall

\[ R_0=r\frac{q^n-1}{iq^n}+\frac{d}{iq^n}\left(\frac{q^n-1}{i}-n\right) \]
Rentenbarwert R₀ 9.478,21 € Spezialfall berechnet
Erste Zahlung
Letzte sichtbare Zahlung
Beispielreihe
Bedingung
Spezialfall aktiv Arithmetisch fortschreitende Rente mit endlicher Laufzeit.

Zahlungs- und Bewertungsplan

Barwert- und Endwertbeiträge der einzelnen Zahlungen
Zahlungen 1 bis 5 von 5
tZahlung rₜAbzinsung q⁻ᵗBeitrag zu R₀Aufzinsung qⁿ⁻ᵗBeitrag zu Rₙ

Verlauf der Zahlungsreihe

Kumulierte Einzahlungen, Barwerte und Endwerte
Kumulierter Endwert bis k Kumulierte Zahlungen Kumulierter Barwert bis k

Ausgewählter Schritt k

Schritt k
Zahlung rₖ
Kumulierte Zahlungen
Kumulierter Barwert
Kumulierter Endwert
Zinsfaktor q
Interpretation Die kumulierten Zahlungen steigen nominal. Der Barwert berücksichtigt die Abzinsung, der Endwert die Aufzinsung bis zum Endzeitpunkt.

Vertiefung

Bedeutung und Einsatz der Formeln

Allgemeine veränderliche Rente

Im Gegensatz zur gleichbleibenden Rente dürfen die Zahlungen \(r_t\) von Periode zu Periode variieren. Der Barwert und der Endwert ergeben sich dann aus Summen über die einzelnen Zahlungen.

Numerische Zinssatzsuche

Bei vorgegebener Zahlungsreihe und bekanntem Barwert oder Endwert lässt sich der Zinssatz im Regelfall nicht direkt umstellen. Deshalb wird das Newton-Verfahren verwendet.

Arithmetisch fortschreitende Renten

Hier verändert sich jede Zahlung um den konstanten Betrag \(d\). Typisch sind lineare Steigerungen oder lineare Abschläge von Periode zu Periode.

Geometrisch fortschreitende Renten

Hier wachsen die Zahlungen prozentual mit der Rate \(w\). Für ewige Renten ist dabei die Bedingung \(0<w<i\) entscheidend, damit ein endlicher Barwert existiert.

Abzinsung und Aufzinsung

Die Formel für den Barwert diskontiert jede Zahlung auf \(t=0\). Die Formel für den Endwert verzinst jede Zahlung bis \(t=n\). Beide Perspektiven sind äquivalent.

Grenzfälle

Bei einem Zinssatz von null fällt die Abzinsung beziehungsweise Aufzinsung weg. Dann sind Barwert und Endwert identisch mit der Summe der Zahlungen.

Bezeichnungen

Variablen der veränderlichen Rentenrechnung
\(r_t\)Zahlung am Ende der Periode t
\(R_0\)Rentenbarwert zum Anfangszeitpunkt
\(R_n\)Rentenendwert am Endzeitpunkt
\(i\)Zinssatz je Periode als Dezimalzahl
\(q\)Zinsfaktor mit \(q=1+i\)
\(d,w\)lineare beziehungsweise prozentuale Veränderung der Zahlungen

Häufig gestellte Fragen

Veränderliche nachschüssige Renten
Was ist eine veränderliche nachschüssige Rente?

Die Zahlungen sind nicht konstant, sondern verändern sich über die Zeit. Nachschüssig bedeutet, dass jede Zahlung am Ende der jeweiligen Periode geleistet wird.

Wie wird der Rentenbarwert berechnet?

\(R_0=\sum_{t=1}^{n}r_tq^{-t}\).

Wie wird der Rentenendwert berechnet?

\(R_n=q^n\sum_{t=1}^{n}r_tq^{-t}\).

Wann braucht man das Newton-Verfahren?

Wenn der Zinssatz bei gegebener Zahlungsreihe und bekanntem Barwert oder Endwert gesucht wird.

Wann ist der Barwert einer geometrisch fortschreitenden ewigen Rente definiert?

Nur wenn die Wachstumsrate kleiner als der Zinssatz ist, also \(0<w<i\).

Was ist der Unterschied zwischen arithmetischer und geometrischer Fortschreitung?

Bei der arithmetischen Fortschreitung ändert sich die Zahlung um einen festen Betrag \(d\). Bei der geometrischen Fortschreitung wächst sie prozentual mit \(w\).