Arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel
Drei Mittelwerte berechnen, vergleichen und fachlich einordnen.
A=frac{a+b}{2},;G=sqrt{ab},;H=frac{2ab}{a+b}Einordnung
Drei Mittelwerte berechnen, vergleichen und fachlich einordnen.
Grundlagen
Arithmetisches Mittel
Der gewöhnliche Durchschnitt zweier Zahlen.
Geometrisches Mittel
Geeignet für multiplikative Änderungen, Wachstumsfaktoren und Verhältnisse.
Harmonisches Mittel
Geeignet für Raten, Quotienten und Geschwindigkeiten bei gleichen Strecken.
Mittelwertrechner
Eingabewerte
Ergebnisse
Geometrische Darstellung
| Linker Abschnitt | |
|---|---|
| Rechter Abschnitt | |
| Durchmesser a+b | |
| Radius mₐ | |
| Höhe m𝗀 = √ab | |
| Höhensatz |
Vergleich der Mittelwerte
Formelsammlung
Arithmetisches Mittel
Additive Mittelwertbildung.
Geometrisches Mittel
Multiplikative Mittelwertbildung.
Harmonisches Mittel
Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte.
Ungleichung
Gleichheit gilt genau für a = b.
Verknüpfung
Das geometrische Mittel ist auch das geometrische Mittel von mₕ und mₐ.
Reziproke Darstellung
Das harmonische Mittel ist der Kehrwert des mittleren Kehrwerts.
Abstand AM und HM
Der Abstand ist immer nichtnegativ.
Abstand AM und GM
Direkter Beleg für m𝗀 ≤ mₐ.
Interaktive Übung
Vertiefung
Arithmetisches Mittel
Das arithmetische Mittel eignet sich für additive Größen. Es wird verwendet, wenn einzelne Werte mit gleicher Gewichtung zusammengezählt und anschließend durch ihre Anzahl geteilt werden.
Geometrisches Mittel
Das geometrische Mittel eignet sich für Wachstumsfaktoren, relative Veränderungen und multiplikative Zusammenhänge. Bei zwei positiven Zahlen ist es die Seitenlänge eines Quadrats mit derselben Fläche wie ein Rechteck mit den Seiten a und b.
Harmonisches Mittel
Das harmonische Mittel ist bei Raten und Quotienten relevant. Für zwei gleich lange Strecken, die mit den Geschwindigkeiten a und b zurückgelegt werden, entspricht die Durchschnittsgeschwindigkeit dem harmonischen Mittel.
AM-GM-HM-Ungleichung
Für positive Zahlen gilt mH ≤ mG ≤ mA. Die Abstände werden größer, je stärker sich a und b unterscheiden. Sind beide Zahlen gleich, fallen alle drei Mittelwerte zusammen.
Geometrische Konstruktion
Im Halbkreis über dem Durchmesser a+b wird der Durchmesser in die Abschnitte a und b geteilt. Die Senkrechte im Teilungspunkt bis zum Halbkreis hat nach dem Höhensatz die Länge √ab.
Skalierungsverhalten
Werden a und b mit demselben positiven Faktor λ multipliziert, werden auch alle drei Mittelwerte mit λ multipliziert. Die Quotienten mG/mA und mH/mG bleiben dabei unverändert.
Häufig gestellte Fragen
Wie wird das arithmetische Mittel berechnet?
Für zwei Zahlen a und b gilt mA = (a+b)/2.
Wie wird das geometrische Mittel berechnet?
Für zwei positive Zahlen gilt mG = √(ab).
Wie wird das harmonische Mittel berechnet?
Für zwei positive Zahlen gilt mH = 2ab/(a+b).
Welche Reihenfolge gilt für die drei Mittelwerte?
Für positive Zahlen gilt mH ≤ mG ≤ mA.
Wann sind alle drei Mittelwerte gleich?
Genau dann, wenn a = b gilt.
Warum eignet sich das harmonische Mittel für Geschwindigkeiten?
Bei gleichen Strecken sind die benötigten Zeiten umgekehrt proportional zu den Geschwindigkeiten. Deshalb muss über die Kehrwerte gemittelt werden.
Was zeigt die Halbkreis-Konstruktion?
Die Senkrechte über dem Teilungspunkt eines Durchmessers mit den Abschnitten a und b hat die Länge √ab und stellt damit das geometrische Mittel dar.