Skip to content
Finanzbegriffe A–Z Sprachen Institutionen llms.txt 206,186 Begriffe
FORMEL · LERNMODUL

Potenzen, Wurzeln und Potenzgesetze

Potenz- und Wurzelgesetze sowie rationale Exponenten sicher anwenden.

Zusatzmodul
Grundformel
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
a^mcdot a^n=a^{m+n}

Einordnung

Potenz- und Wurzelgesetze sowie rationale Exponenten sicher anwenden.

\(a^m\) 0
\(\sqrt[n]{a}\) 0
\(a^{\frac{m}{n}}\) 0
\(a^{-n}\) 0

Grundlagen

Definitionen von Potenz und n-ter Wurzel

Potenz

Für n ≥ 2 ist aⁿ das Produkt aus n gleichen Faktoren a.

\[a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n\ \text{Faktoren}}\]
\[a^1=a,\qquad a^0=1\quad (a\neq 0)\]

n-te Wurzel

Die n-te Wurzel ist die nichtnegative Zahl x, deren n-te Potenz a ergibt.

\[\sqrt[n]{a}=x\quad\Longleftrightarrow\quad x^n=a\]
\[\sqrt{a^2}=|a|\]

Negative Exponenten

Ein negativer Exponent bildet den Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz.

\[a^{-n}=\frac{1}{a^n}\]

Rationale Exponenten

Wurzeln können als Potenzen mit gebrochenen Exponenten geschrieben werden.

\[a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\]
\[a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\]

Potenz- und Wurzelrechner

Werte verändern und Ergebnisse direkt vergleichen

Eingabewerte

Ergebnisse

Rationaler Exponent \(\displaystyle a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\) \(\displaystyle 4^{\frac{3}{2}}=\sqrt{4^3}=8\)
\(a^m\)
\(\sqrt[n]{a}\)
\(a^{\frac{m}{n}}\)
\(a^{-n}\)
\(\left(\sqrt[n]{a}\right)^m\)
\(\sqrt[kn]{a^{km}}\)
Gültige Eingabe Alle Werte liegen im reellen Definitionsbereich.

Potenz- und Wurzelgesetze prüfen

Linke und rechte Seite werden numerisch verglichen
GesetzLinke SeiteRechte SeitePrüfung

Funktionsgraphen

y = xⁿ, y = ⁿ√x und y = xᵐ⁄ⁿ
y = xⁿ y = ⁿ√x y = xᵐ⁄ⁿ

Aktuelle Funktionen

Potenzfunktion
Wurzelfunktion
Rationale Potenz
Exponent m/n
Darstellungsbereich Wegen der positiven Basis wird der Graph für x ≥ 0 gezeigt. Sehr große Funktionswerte werden am oberen Diagrammrand abgeschnitten.

Formelsammlung

Potenzgesetze und Wurzelgesetze

Gleiche Basis, Multiplikation

\[a^m\cdot a^n=a^{m+n}\]

Exponenten werden addiert.

Gleiche Basis, Division

\[\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\]

Exponenten werden subtrahiert; a ≠ 0.

Gleicher Exponent, Produkt

\[a^n\cdot b^n=(ab)^n\]

Basen werden multipliziert.

Gleicher Exponent, Quotient

\[\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n\]

b ≠ 0.

Potenz einer Potenz

\[\left(a^m\right)^n=a^{mn}=\left(a^n\right)^m\]

Exponenten werden multipliziert.

Wurzel eines Produkts

\[\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\]

Für nichtnegative Radikanden.

Wurzel eines Quotienten

\[\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\]

b > 0.

Wurzel potenzieren

\[\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}\]

Entspricht aᵐ⁄ⁿ.

Wurzel erweitern

\[\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[kn]{a^{km}}\]

Wurzelexponent und Exponent werden mit k multipliziert.

Verschachtelte Wurzeln

\[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\]

Wurzelexponenten werden multipliziert.

Negative Exponenten

\[a^{-n}=\frac{1}{a^n}\]

a ≠ 0.

Gebrochene Exponenten

\[a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}\]

Kehrwert der positiven rationalen Potenz.

Interaktive Übung

Potenz- oder Wurzelgesetz auswählen
Aufgabe Wählen Sie eine Antwort.
Richtige Antworten 0 Bearbeitete Aufgaben 0

Vertiefung

Definitionsbereiche und typische Fehler

Potenz als wiederholte Multiplikation

Für natürliche Exponenten beschreibt a hoch n eine wiederholte Multiplikation. Der Exponent gibt an, wie oft die Basis als Faktor auftritt. Diese Definition wird durch die Potenzgesetze auf null, negative und rationale Exponenten erweitert.

Wurzel als Umkehrung

Die n-te Wurzel ist die Umkehrung der n-ten Potenz auf einem geeigneten Definitionsbereich. Bei geradem n wird im Reellen der nichtnegative Wurzelwert verwendet.

Warum √(a²) = |a| gilt

Die Quadratwurzel liefert definitionsgemäß einen nichtnegativen Wert. Deshalb ist die Quadratwurzel aus a² nicht allgemein a, sondern der Betrag von a.

Rationale Exponenten

Ein Exponent m/n verbindet Potenzieren und Wurzelziehen. Zuerst kann a zur m-ten Potenz erhoben und anschließend die n-te Wurzel gezogen werden. Bei positiven Basen ist die Reihenfolge eindeutig.

Negative Exponenten

Negative Exponenten erzeugen keine negativen Werte, sondern Kehrwerte. Beispielsweise ist a hoch minus 3 gleich eins geteilt durch a hoch 3.

Typische Fehler

Häufig werden bei einer Summe fälschlich Exponenten verteilt. Im Allgemeinen gilt weder (a+b)ⁿ = aⁿ+bⁿ noch √(a+b) = √a+√b. Die Produktgesetze gelten nur für Produkte und Quotienten.

Häufig gestellte Fragen

Potenzen, Wurzeln und rationale Exponenten
Was bedeutet a hoch n?

a hoch n ist das Produkt aus n gleichen Faktoren a.

Warum ist a hoch null gleich 1?

Diese Festlegung sorgt dafür, dass das Divisionsgesetz aⁿ/aⁿ = a⁰ = 1 konsistent bleibt, sofern a nicht null ist.

Was ist die n-te Wurzel?

Die n-te Wurzel aus a ist die nichtnegative Zahl x mit xⁿ = a.

Warum gilt √(a²) = |a|?

Die Quadratwurzel ist nichtnegativ. Daher muss auch bei negativem a der positive Betrag zurückgegeben werden.

Wie werden Potenzen mit gleicher Basis multipliziert?

Die Exponenten werden addiert: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.

Was bedeutet ein negativer Exponent?

a⁻ⁿ ist der Kehrwert von aⁿ, also 1/aⁿ.

Wie hängen Wurzeln und gebrochene Exponenten zusammen?

ⁿ√a = a¹⁄ⁿ und allgemein aᵐ⁄ⁿ = ⁿ√(aᵐ).

Darf man Potenzen über Summen verteilen?

Nein. Im Allgemeinen ist (a+b)ⁿ nicht gleich aⁿ+bⁿ.