Quadratische Funktionen
Parabel, Scheitelpunkt, Nullstellen und Parameterwirkungen direkt nachvollziehen.
f(x) = ax^2 + bx + cEinordnung
Parabel, Scheitelpunkt, Nullstellen und Parameterwirkungen direkt nachvollziehen.
Grundlagen
Quadratische Funktion
Der Leitkoeffizient a bestimmt Öffnungsrichtung und Breite der Parabel.
Extremstelle
Am Scheitelpunkt verschwindet die erste Ableitung.
Extremwert
Der Funktionswert am Scheitelpunkt lässt sich durch Einsetzen oder direkt berechnen.
Minimum oder Maximum
Die zweite Ableitung ist konstant und entscheidet über die Art des Extremums.
Parabelrechner
Parameter
Ergebnisse
Funktionsgraph
Darstellungsoptionen
Wertetabelle
| x | −5 | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) |
Formelsammlung
Allgemeine Form
a bestimmt Öffnung und Breite, c ist der y-Achsenabschnitt.
Erste Ableitung
Die Nullstelle von f' liefert die Extremstelle.
Extremstelle
Gleichzeitig Symmetrieachse der Parabel.
Extremwert
Bei a>0 Minimum, bei a<0 Maximum.
Scheitelpunktform
Zeigt Scheitelpunkt und Öffnung unmittelbar.
Diskriminante
Δ>0: zwei, Δ=0: eine doppelte, Δ<0: keine reelle Nullstelle.
Mitternachtsformel
Berechnet die Nullstellen der quadratischen Funktion.
Faktorform
Gilt bei zwei reellen Nullstellen.
Interaktive Übung
Vertiefung
Leitkoeffizient a
Das Vorzeichen von a bestimmt die Öffnungsrichtung. Für a>0 öffnet sich die Parabel nach oben, für a<0 nach unten. Der Betrag |a| bestimmt die Breite.
Scheitelpunkt
Der Scheitelpunkt ist der tiefste oder höchste Punkt der Parabel. Seine x-Koordinate ist zugleich die Symmetrieachse der Funktion.
Diskriminante
Die Diskriminante entscheidet über die Zahl reeller Nullstellen. Ein positiver Wert liefert zwei Schnittpunkte mit der x-Achse, null einen Berührpunkt und ein negativer Wert keinen reellen Schnittpunkt.
Scheitelpunktform
Die Form f(x)=a(x-xS)²+yS macht Verschiebung, Streckung und Spiegelung der Normalparabel unmittelbar sichtbar.
Ableitung
Die Ableitung einer quadratischen Funktion ist linear. Am Scheitelpunkt ist die Tangente waagerecht, weshalb dort f'(x)=0 gilt.
Anwendungen
Quadratische Funktionen modellieren beispielsweise Wurfparabeln, Gewinnfunktionen, Flächenoptimierungen, Bremswege und zahlreiche technische oder wirtschaftliche Extremwertprobleme.
Häufig gestellte Fragen
Wie lautet die allgemeine Form einer quadratischen Funktion?
Sie lautet f(x)=ax²+bx+c mit a≠0.
Wie berechnet man die Extremstelle?
Die Extremstelle liegt bei xS=−b/(2a).
Wie berechnet man den Extremwert?
Durch Einsetzen von xS oder direkt mit yS=c−b²/(4a).
Wann hat die Parabel ein Minimum?
Bei a>0 ist die Parabel nach oben geöffnet und besitzt ein Minimum.
Wann hat die Parabel ein Maximum?
Bei a<0 ist die Parabel nach unten geöffnet und besitzt ein Maximum.
Wie viele Nullstellen besitzt eine quadratische Funktion?
Das entscheidet die Diskriminante Δ=b²−4ac: zwei bei Δ>0, eine doppelte bei Δ=0 und keine reelle bei Δ<0.
Was ist die Symmetrieachse?
Die Symmetrieachse ist die Gerade x=xS=−b/(2a).