Differenzialquotient
Die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten sichtbar machen.
f'(x)=lim_{hto0}frac{f(x+h)-f(x)}{h}Einordnung
Die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten sichtbar machen.
Grundlagen
Differenzenquotient
Er beschreibt die mittlere Änderungsrate zwischen zwei verschiedenen Stellen.
Differenzialquotient
Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist die Ableitung an der Stelle \(x_0\).
Geometrische Bedeutung
Für endliches \(\Delta x\) verbindet eine Sekante die Punkte \(P\) und \(Q\). Für \(\Delta x\to0\) geht sie in die Tangente über.
Tangentengleichung
Die Ableitung liefert die Steigung der Tangente durch \(P\).
Differenzenquotienten-Rechner
Einstellungen
Ergebnisse
Sekante und Tangente
Darstellungsoptionen
Grenzwerttabelle
| Δx | x₀+Δx | f(x₀+Δx) | Differenzenquotient | Abweichung zu f′(x₀) |
|---|
Formelsammlung
Differenzenquotient
Mittlere Änderungsrate zwischen zwei Stellen.
Differenzialquotient
Momentane Änderungsrate an der Stelle \(x_0\).
Punkte der Sekante
Die Sekante verläuft durch P und Q.
Tangentengleichung
Tangente an den Graphen in P.
Alternative Schreibweise
\(h\) und \(\Delta x\) bezeichnen hier dieselbe Schrittweite.
Ableitungsfunktion
Definition der Ableitung als Funktion von \(x\).
Interaktive Übung
Vertiefung
Mittlere Änderungsrate
Der Differenzenquotient misst die durchschnittliche Änderung einer Funktion auf einem Intervall. Geometrisch entspricht er der Steigung einer Sekante.
Momentane Änderungsrate
Die Ableitung beschreibt die momentane Änderung an genau einer Stelle. Sie entsteht als Grenzwert der mittleren Änderungsraten.
Grenzübergang
\(\Delta x\) wird nicht direkt null gesetzt. Stattdessen untersucht man Werte, die sich null von rechts und links beliebig stark annähern.
Differenzierbarkeit
Existiert der Grenzwert eindeutig und endlich, ist die Funktion an der betrachteten Stelle differenzierbar.
Einseitige Grenzwerte
Die Ableitung existiert nur, wenn der Grenzwert von links und von rechts übereinstimmt.
Anwendungen
Ableitungen werden für Geschwindigkeit, Grenzkosten, Grenzerlös, Wachstumsraten, Optimierung und viele weitere Anwendungen genutzt.
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Differenzenquotient?
Er ist die mittlere Änderungsrate zwischen \(x_0\) und \(x_0+\Delta x\).
Was ist der Differenzialquotient?
Er ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für \(\Delta x\to0\) und damit die Ableitung.
Warum darf Δx nicht null sein?
Weil \(\Delta x\) im Nenner steht. Der Quotient wäre bei \(\Delta x=0\) nicht definiert.
Was passiert mit der Sekante?
Der Punkt Q nähert sich P. Im Grenzfall wird die Sekante zur Tangente.
Wann existiert die Ableitung?
Wenn die Grenzwerte des Differenzenquotienten von links und rechts übereinstimmen.