Skip to content
Finanzbegriffe A–Z Sprachen Institutionen llms.txt 206,186 Begriffe
FORMEL · LERNMODUL

Vektoren

Vektorsumme, Skalarprodukt, Kreuzprodukt und Cauchy-Schwarz untersuchen.

Kernkatalog
Grundformel
a · b = |a| |b| cos(φ)
vec acdotvec b=lVertvec arVert,lVertvec brVertcos(varphi)

Einordnung

Vektorsumme, Skalarprodukt, Kreuzprodukt und Cauchy-Schwarz untersuchen.

Skalarprodukt a·b 0
Norm ||a|| 0
Norm ||b|| 0
Winkel zwischen a und b 0°

Grundlagen

n-Vektoren und zentrale Operationen

n-Vektoren

\[ \mathbf a=(a_1,a_2,\ldots,a_n),\qquad \mathbf b=(b_1,b_2,\ldots,b_n) \]

Vektoren gleicher Dimension können komponentenweise addiert und subtrahiert werden.

Summen- und Differenzvektor

\[ \mathbf a+\mathbf b= (a_1+b_1,\ldots,a_n+b_n) \]
\[ \mathbf a-\mathbf b= (a_1-b_1,\ldots,a_n-b_n) \]

Geometrische Verkettung

\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AC} \]

Im Polygonzug wird der zweite Vektor an die Spitze des ersten Vektors gesetzt.

Skalarprodukt

\[ \mathbf a\cdot\mathbf b= \sum_{i=1}^{n}a_i b_i \]
\[ \mathbf a\cdot\mathbf b= \|\mathbf a\|\,\|\mathbf b\|\cos(\varphi) \]

Norm

\[ \|\mathbf a\|= \sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a} =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2} \]

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

\[ \left|\mathbf a\cdot\mathbf b\right| \leq \|\mathbf a\|\cdot\|\mathbf b\| \]
\[ \|\mathbf a\| =\sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a} =\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2} \]

Gleichheit gilt genau dann, wenn die Vektoren linear abhängig sind.

Interaktiver Vektorrechner

Dimension und Komponenten verändern

Vektoren eingeben

Vektor a

Vektor b

Ergebnisse

Aktuelle Vektoren \(\displaystyle \mathbf a=(2,1,0),\ \mathbf b=(1,2,0)\)
Summenvektor a+b
Differenzvektor a−b
Skalarprodukt a·b
Norm ||a||
Norm ||b||
Winkel φ
Skalierter Vektor γa
Skalierter Vektor γb
|a·b|
||a||·||b||
Cauchy-Schwarz bestätigt Die Ungleichung ist erfüllt.

Grafische Darstellung

Zweidimensionale Projektion und Polygonzug
Vektor a = AB Vektor b = BC a+b = AC a−b

Darstellungsoptionen

Punkt A(0 | 0)
Punkt B
Punkt C
Projektion
Geometrische Bedeutung Es gilt \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). Bei Dimensionen über zwei werden nur die ersten beiden Komponenten dargestellt.

Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Berechnung aus den ersten drei Komponenten

Dreidimensionales Kreuzprodukt

Für das Kreuzprodukt werden die Komponenten \(a_1,a_2,a_3\) und \(b_1,b_2,b_3\) verwendet.

\[ \mathbf a\times\mathbf b= \begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2\\ a_3b_1-a_1b_3\\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix} \]

Ergebnis und Kontrolle

Kreuzprodukt \(\displaystyle \mathbf a\times\mathbf b=(0,0,3)\)
Norm ||a×b||
a·(a×b)
b·(a×b)
Orientierte Fläche
Orthogonalität bestätigt Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren.

Formelsammlung

Vektoroperationen im Überblick

n-Vektoren

\[ \mathbf a=(a_1,\ldots,a_n) \]

Ein Vektor wird durch seine Komponenten beschrieben.

Vektoraddition

\[ \mathbf a+\mathbf b= (a_1+b_1,\ldots,a_n+b_n) \]

Komponenten gleicher Position werden addiert.

Differenzvektor

\[ \mathbf a-\mathbf b= (a_1-b_1,\ldots,a_n-b_n) \]

Komponenten gleicher Position werden subtrahiert.

Skalarmultiplikation

\[ \gamma\mathbf a= (\gamma a_1,\ldots,\gamma a_n) \]

Jede Komponente wird mit dem Skalar multipliziert.

Skalarprodukt

\[ \mathbf a\cdot\mathbf b= \sum_{i=1}^{n}a_i b_i \]

Das Ergebnis ist eine reelle Zahl.

Regeln des Skalarprodukts

\[ \mathbf a\cdot\mathbf b= \mathbf b\cdot\mathbf a \]
\[ \mathbf a\cdot(\mathbf b+\mathbf c)= \mathbf a\cdot\mathbf b+ \mathbf a\cdot\mathbf c \]

Kommutativität und Distributivität.

Norm

\[ \|\mathbf a\|= \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2} \]

Euklidische Länge eines Vektors.

Winkel

\[ \cos(\varphi)= \frac{\mathbf a\cdot\mathbf b} {\|\mathbf a\|\,\|\mathbf b\|} \]

Nur für zwei von null verschiedene Vektoren.

Kreuzprodukt

\[ \mathbf a\times\mathbf b= \begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2\\ a_3b_1-a_1b_3\\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix} \]

Das Ergebnis ist ein zu beiden Vektoren orthogonaler Vektor.

Regeln des Kreuzprodukts

\[ \mathbf a\times\mathbf b= -(\mathbf b\times\mathbf a) \]
\[ \mathbf a\times(\mathbf b+\mathbf c)= \mathbf a\times\mathbf b+ \mathbf a\times\mathbf c \]

Antikommutativität und Distributivität.

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

\[ \left|\mathbf a\cdot\mathbf b\right| \leq \|\mathbf a\|\cdot\|\mathbf b\| \]
\[ \|\mathbf a\| =\sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a} =\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2} \]

Der Betrag des Skalarprodukts ist höchstens so groß wie das Produkt der beiden Normen.

Orthogonalität

\[ \mathbf a\perp\mathbf b \quad\Longleftrightarrow\quad \mathbf a\cdot\mathbf b=0 \]

Gilt für von null verschiedene Vektoren im euklidischen Raum.

Interaktive Übung

Vektoraddition, Skalarprodukt und Norm
Aufgabe Wählen Sie eine Antwort.
Richtige Antworten 0 Bearbeitete Aufgaben 0

Vertiefung

Geometrische und algebraische Interpretation

Komponentenweise Rechnung

Vektoraddition und Subtraktion erfolgen komponentenweise. Deshalb müssen beide Vektoren dieselbe Dimension besitzen.

Skalarprodukt und Winkel

Das Skalarprodukt verbindet die algebraische Darstellung durch Komponenten mit der geometrischen Darstellung über Normen und Winkel.

Orthogonale Vektoren

Zwei von null verschiedene Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist.

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt liefert in drei Dimensionen einen Normalenvektor. Seine Norm entspricht dem Flächeninhalt des von den Ausgangsvektoren aufgespannten Parallelogramms.

Cauchy-Schwarz

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung stellt sicher, dass der aus dem Skalarprodukt berechnete Kosinuswert zwischen minus eins und eins liegt.

Anwendungen

Vektoren werden in Geometrie, Physik, Mechanik, Computergrafik, Datenanalyse, Optimierung und maschinellem Lernen eingesetzt.

Häufig gestellte Fragen

Vektoroperationen
Wie addiert man zwei Vektoren?

Die Komponenten gleicher Position werden addiert: \((a_1,\ldots,a_n)+(b_1,\ldots,b_n)=(a_1+b_1,\ldots,a_n+b_n)\).

Wie berechnet man das Skalarprodukt?

\(\mathbf a\cdot\mathbf b=\sum_{i=1}^{n}a_i b_i\).

Wie berechnet man die Norm?

\(\|\mathbf a\|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}\).

Wann sind zwei Vektoren orthogonal?

Für von null verschiedene Vektoren gilt: \(\mathbf a\perp\mathbf b\) genau dann, wenn \(\mathbf a\cdot\mathbf b=0\).

Wann ist das Kreuzprodukt definiert?

Das in dieser Form verwendete Kreuzprodukt ist für dreidimensionale Vektoren definiert.

Was besagt Cauchy-Schwarz?

Es gilt \(\left|\mathbf a\cdot\mathbf b\right|\leq\|\mathbf a\|\cdot\|\mathbf b\|\). Dabei ist \(\|\mathbf a\|=\sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a}\).