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FORMEL · LERNMODUL

Nachschüssige Renten

Rentenendwert, Barwert, Rate, Laufzeit und Zinssatz berechnen.

Kernkatalog
Grundformel
Rₙ = r · ((qⁿ − 1) / (q − 1))
R_n=rcdotfrac{q^n-1}{q-1}

Einordnung

Rentenendwert, Barwert, Rate, Laufzeit und Zinssatz berechnen.

Rate r 1.000,00 €
Rentenendwert Rₙ 12.577,89 €
Rentenbarwert R₀ 7.721,73 €
Zinsfaktor q 1,05

4 Rentenrechnung

Gleich hohe, regelmäßig wiederkehrende Zahlungen

Nachschüssige Zahlung

\[ t=1,2,\dots,n \]

Die erste Rate wird am Ende der ersten Periode gezahlt. Die letzte Rate erfolgt am Ende der letzten Periode zum Zeitpunkt \(t=n\).

Zinsfaktor

\[ q=1+i \]

Jede Rate wird bis zum Endzeitpunkt aufgezinst beziehungsweise zum Anfangszeitpunkt abgezinst.

4.2 Nachschüssige Renten

Endwert, Barwert, Faktoren und Umstellungen

Rentenendwert

\[ R_n=r\frac{q^n-1}{i} \]

Rentenendwertfaktor

\[ REFN=\frac{q^n-1}{i} \]

Rentenbarwert

\[ R_0=r\frac{q^n-1}{iq^n} \]

Rentenbarwertfaktor

\[ RBFN=\frac{q^n-1}{iq^n} \]

Zinssatz Endwertgleichung

Funktion
\[ f(i)=-R_n+r\frac{q^n-1}{i} \]
Ableitung
\[ f'(i)=r\frac{inq^{n-1}-q^n+1}{i^2} \]

Zinssatz Barwertgleichung

Funktion
\[ f(i)=-R_0+r\frac{q^n-1}{iq^n} \]
Ableitung
\[ f'(i)=r\frac{q+ni-q^{n+1}}{i^2q^{n+1}} \]

Laufzeit bei gegebenem Rentenendwert

\[ n=\frac{\ln\left(1+\frac{iR_n}{r}\right)}{\ln q} \]

Laufzeit bei gegebenem Rentenbarwert

\[ n=\frac{\ln\left(\frac{r}{r-iR_0}\right)}{\ln q} \]

Rentenbarwert bei ewiger Laufzeit und gleichbleibenden Renten

\[ R_0=\frac{r}{i} \]

Direkter Rentenrechner

Endwert und Barwert gleichzeitig berechnen

Eingabewerte

Ergebnisse

Rentenendwert Rₙ 12.577,89 € \(\displaystyle R_n=1.000\cdot\frac{1{,}05^{10}-1}{0{,}05}\)
Rentenbarwert R₀
Rentenendwertfaktor REFN
Rentenbarwertfaktor RBFN
Summe der Einzahlungen
Zinsanteil im Endwert
Zinsfaktor q
Zahlungszeitpunkte
Anzahl der Zahlungen
Nachschüssige Rente berechnet Die erste Zahlung erfolgt erst am Ende der ersten Periode.

Rate, Zinssatz oder Laufzeit bestimmen

Endwert- oder Barwertgleichung

Bekannte Werte

Inverse Berechnung

Gesuchte Rate r
Verwendete Gleichung
Kontrollwert
Bereit Wählen Sie die gesuchte Größe und die zugrunde liegende Gleichung.

Zahlungs- und Bewertungsplan

Beitrag jeder nachschüssigen Rate
Zahlungen 1 bis 10 von 10
Nr.Zeitpunkt tRate rAufzinsungsfaktorBeitrag zu RₙAbzinsungsfaktorBeitrag zu R₀

Entwicklung der nachschüssigen Rente

Einzahlungen und Zinserträge bis zum Endwert
Rentenendwert nach k Zahlungen Summe der Einzahlungen Zinsanteil

Aktueller Schritt k

Anzahl Zahlungen k
Endwert nach k Zahlungen
Einzahlungen
Zinsanteil
Barwert der k Zahlungen
Zinsfaktor q
Nachschüssiger Effekt Jede Rate wird erst am Periodenende gezahlt und daher eine Periode kürzer verzinst als bei einer ansonsten gleichen vorschüssigen Rente.

Ewige Rente

Barwert einer unendlichen nachschüssigen Rente
\[ R_0=\frac{r}{i} \]

Für eine ewige nachschüssige Rente mit konstanten Zahlungen und positivem Zinssatz gilt der Barwert \(R_0=r/i\).

Die Formel ist nur für \(i>0\) sinnvoll. Bei \(i\le 0\) ist kein endlicher Barwert definiert.

Mini-Rechner

Barwert der ewigen Rente 20.000,00 € \(\displaystyle R_0=\frac{1.000}{0{,}05}\)
Ewige Rente Der Zinssatz muss positiv sein.

Vertiefung

Bedeutung und mathematische Besonderheiten

Nachschüssige Zahlung

Bei einer nachschüssigen Rente erfolgt jede Rate am Ende der Periode. Deshalb fehlen im Gegensatz zur vorschüssigen Rente die zusätzlichen Multiplikatoren \(q\) in den Hauptformeln.

Rentenendwert

Der Rentenendwert fasst alle Zahlungen am Ende der Laufzeit zusammen. Frühere Zahlungen werden über mehr Perioden aufgezinst und tragen deshalb stärker zum Endwert bei.

Rentenbarwert

Der Rentenbarwert bewertet alle künftigen Zahlungen zum Zeitpunkt \(t=0\). Jede Zahlung wird um die Anzahl der bis zu ihrem Fälligkeitszeitpunkt verbleibenden Perioden abgezinst.

Berechnung des Zinssatzes

Der Zinssatz steht sowohl in der Basis \(q=1+i\) als auch im Nenner. Eine elementare Umstellung ist daher im Allgemeinen nicht möglich. Das Newton-Verfahren liefert eine numerische Lösung.

Ewige Rente

Für eine unendliche, gleichbleibende nachschüssige Rente mit positivem Zinssatz gilt der Barwert \(R_0=r/i\). Der Ausdruck ist das klassische Perpetuitätsmodell.

Grenzfall ohne Zinsen

Für \(i=0\) gilt bei endlicher Laufzeit \(R_n=R_0=nr\). Der Rechner verwendet diesen Grenzwert automatisch und vermeidet dadurch eine Division durch null.

Bezeichnungen

Variablen der Rentenrechnung
\(r\)gleichbleibende Rate je Periode
\(R_n\)Rentenendwert am Ende der Laufzeit
\(R_0\)Rentenbarwert zum Anfangszeitpunkt
\(i\)Zinssatz je Periode als Dezimalzahl
\(q\)Zinsfaktor mit \(q=1+i\)
\(n\)Anzahl der nachschüssigen Zahlungen

Häufig gestellte Fragen

Nachschüssige Rentenrechnung
Was bedeutet nachschüssige Rente?

Die Zahlung erfolgt jeweils am Ende der Periode. Die erste Rate wird also erst bei \(t=1\) gezahlt.

Wie wird der Rentenendwert berechnet?

\(R_n=r(q^n-1)/i\).

Wie wird der Rentenbarwert berechnet?

\(R_0=r(q^n-1)/(iq^n)\).

Wie unterscheiden sich nachschüssige und vorschüssige Renten?

Bei der nachschüssigen Rente erfolgt jede Zahlung eine Periode später. Endwert und Barwert sind deshalb jeweils um den Faktor \(q\) kleiner als bei der entsprechenden vorschüssigen Rente.

Wie wird der Zinssatz bestimmt?

Der Zinssatz wird numerisch bestimmt, beispielsweise mit dem Newton-Verfahren. Der Rechner zeigt die einzelnen Iterationen.

Was ist die ewige Rente?

Für eine unendliche Reihe gleichbleibender nachschüssiger Zahlungen mit positivem Zinssatz gilt \(R_0=r/i\).