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FORMEL · LERNMODUL

Gemischte Zinsen

Ganzjährige Verzinsung und unterjährige Rumpfperioden kombinieren.

Kernkatalog
Grundformel
K = K₀(1+i)ⁿ(1+i·t)
K=K_0(1+i)^n(1+icdot t)

Einordnung

Ganzjährige Verzinsung und unterjährige Rumpfperioden kombinieren.

Anfangskapital K₀ 10.000,00 €
Endkapital Kₙ 13.081,89 €
Zinssatz i 5,00 %
Laufzeit n 5,5

Grundidee der gemischten Verzinsung

Aufteilung der Laufzeit

Volle Zinsperioden

\[ n_1=\operatorname{int}(n) \]

Der ganzzahlige Anteil \(n_1\) wird mit Zinseszins berechnet.

Rumpfperiode

\[ n_2=n-n_1 \]

Der verbleibende Anteil \(n_2\) wird nach der gemischten Konvention einfach verzinst.

2.3 Gemischte Zinsen

Formeln und Zerlegung

Endkapital einfache Zinsen

\[ K_n=K_0\left(1+(n_1+n_2)i\right) \]

Endkapital gemischte Zinsen

\[ K_n=K_0(1+i)^{n_1}(1+n_2i) \]

Anfangskapital

\[ K_0=\frac{K_n}{(1+i)^{n_1}(1+n_2i)} \]

Newton-Verfahren

\[ i_{k+1}=i_k-\frac{f(i_k)}{f'(i_k)} \]

Rechner für gemischte Zinsen

Gesuchte Größe auswählen

Eingabewerte

Volle Perioden n₁5
Rumpfperiode n₂0,5

Berechnung

Verwendete Formel \(\displaystyle K_n=K_0(1+i)^{n_1}(1+n_2i)\)
Gesuchte Größe
Ergebnis
Zinsbetrag insgesamt
Volle Perioden n₁
Rumpfperiode n₂
Newton-Iterationennicht erforderlich
Berechnung möglich Die Eingabewerte erfüllen die mathematischen Bedingungen.

Verzinsungsmodelle vergleichen

Gleiche Eingaben, unterschiedliche Konvention

Modellvergleich

Die aktuellen Rechnerwerte werden mit drei Modellen ausgewertet:

\[ K_n^{\mathrm{einfach}}=K_0(1+ni) \]
\[ K_n^{\mathrm{gemischt}}=K_0(1+i)^{n_1}(1+n_2i) \]
\[ K_n^{\mathrm{exakt}}=K_0(1+i)^n \]

Ergebnisse

Einfache Verzinsung
Gemischte Verzinsung
Exakte exponentielle Verzinsung
Gemischt minus einfach
Exakt minus gemischt
Rumpfperiode
Einordnung Die gemischte Verzinsung verwendet Zinseszins für die vollen Perioden und eine lineare Verzinsung für den Periodenrest.

Newton-Verfahren zur Zinssatzberechnung

Tangentenmethode

Funktion

\[ f(i)=-K_n+K_0(1+i)^{n_1}+K_0(1+i)^{n_1}n_2i \]

Ableitung

\[ f'(i)=(1+i)^{n_1}K_0\left(\frac{n_1(1+n_2i)}{1+i}+n_2\right) \]
\[ i_{k+1}=i_k-\frac{f(i_k)}{f'(i_k)} \]
Aktueller Rechenstand Wählen Sie im Rechner „Zinssatz“, damit die Iterationswerte angezeigt werden.

Kapitalentwicklung

Stückweise lineare Rumpfperioden
Gemischte Verzinsung Einfache Verzinsung

Aktueller Zeitpunkt

Zeitpunkt t
Volle Perioden t₁
Rumpfperiode t₂
Gemischtes Kapital
Einfach verzinstes Kapital
Differenz
Verlauf Innerhalb jeder Rumpfperiode verläuft das gemischte Modell linear. An den ganzzahligen Periodengrenzen steigt die Steigung.

Vertiefung

Bedeutung und Anwendung

Gemischte Verzinsung

Gemischte Zinsen kombinieren zwei Rechenregeln. Volle Zinsperioden werden exponentiell verzinst. Der verbleibende Periodenanteil wird linear auf das nach den vollen Perioden erreichte Kapital angewendet.

Aufteilung der Laufzeit

Die gesamte Laufzeit wird in \(n_1\) vollständige Perioden und den Rest \(n_2\) zerlegt. Dabei gilt \(n_1=\operatorname{int}(n)\) und \(n_2=n-n_1\).

Zinssatz als numerisches Problem

Bei der Zinssatzberechnung kommt \(i\) sowohl in der Potenz \((1+i)^{n_1}\) als auch im Faktor \((1+n_2i)\) vor. Eine einfache algebraische Isolierung ist deshalb im allgemeinen Fall nicht möglich.

Newton-Verfahren

Das Newton-Verfahren nähert die Nullstelle von \(f(i)\) iterativ an. Ein geeigneter Startwert und eine von null verschiedene Ableitung sind für eine stabile Berechnung erforderlich.

Laufzeitberechnung

Bei positivem Zinssatz lässt sich zunächst die Anzahl der vollständigen Perioden aus dem Verhältnis \(K_n/K_0\) bestimmen. Anschließend wird die Rumpfperiode aus dem linearen Restfaktor berechnet.

Abgrenzung

Bei einfacher Verzinsung bleibt die absolute Zinsbasis konstant. Beim reinen Zinseszins wird auch die Rumpfperiode exponentiell behandelt. Die gemischte Verzinsung liegt konzeptionell zwischen diesen beiden Modellen.

Häufig gestellte Fragen

Gemischte Zinsen
Was sind gemischte Zinsen?

Volle Perioden werden mit Zinseszins und die verbleibende Rumpfperiode mit einfacher Verzinsung berechnet.

Wie wird das Endkapital berechnet?

\(K_n=K_0(1+i)^{n_1}(1+n_2i)\).

Wie werden n₁ und n₂ bestimmt?

\(n_1=\operatorname{int}(n)\) und \(n_2=n-n_1\).

Warum ist das Newton-Verfahren erforderlich?

Weil der Zinssatz gleichzeitig in einer Potenz und in einem linearen Faktor vorkommt und sich daher im allgemeinen Fall nicht elementar isolieren lässt.

Wie wird das Anfangskapital berechnet?

\(K_0=K_n/\left((1+i)^{n_1}(1+n_2i)\right)\).

Was passiert bei einer ganzzahligen Laufzeit?

Dann ist \(n_2=0\). Die Formel reduziert sich auf die gewöhnliche Zinseszinsformel \(K_n=K_0(1+i)^n\).