Numerische Integration
Mittelpunktregel, Keplersche Fassregel und Simpson-Formel vergleichen.
\int_a^b f(x)dx\approx\frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+\dots+f(x_n)]Einordnung
Mittelpunktregel, Keplersche Fassregel und Simpson-Formel vergleichen.
Grundlagen
Stützstellen
Das Intervall [a,b] wird in 2m gleich breite Teilintervalle zerlegt.
Mittelpunktregel
In der Vorlage als Tangenten-Formel bezeichnet. Verwendet werden die Funktionswerte in den Mittelpunkten der Teilintervalle.
Keplersche Fassregel
Simpson-Regel auf einem Paar von Teilintervallen.
Hierbei gilt y₁ = f((a+b)/2).
Zusammengesetzte Simpson-Formel
Je zwei Teilintervalle werden durch eine quadratische Interpolationsparabel angenähert.
Integralrechner
Berechnungsdaten
Ergebnis
Visualisierung
| Verfahren | Näherung | Fehler |
|---|---|---|
| Mittelpunkt | ||
| Kepler | ||
| Simpson |
Wertetabelle
| k | xₖ | yₖ = f(xₖ) | Simpson-Gewicht | Gewicht · yₖ |
|---|
Formelsammlung
Schrittweite
Das Intervall wird in 2m gleich breite Teilintervalle zerlegt.
Stützstellen
k läuft von 0 bis 2m.
Mittelpunktregel
Verwendet nur die ungeraden Stützstellen.
Keplersche Fassregel
Ein einzelner Simpson-Schritt über das Gesamtintervall.
Zusammengesetzte Simpson-Formel
Gewichte: 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1.
Fehlerordnung Mittelpunktregel
Bei genügend glatter Funktion sinkt der Fehler quadratisch mit h.
Fehlerordnung Simpson
Die Simpson-Formel konvergiert bei glatten Funktionen meist deutlich schneller.
Exaktheit
Vorausgesetzt, die Rechnung erfolgt ohne Rundungsfehler.
Vertiefung
Warum numerische Integration?
Viele bestimmte Integrale besitzen keine elementare Stammfunktion oder liegen nur als Messdaten vor. Numerische Quadratur ersetzt das Integral durch eine gewichtete Summe endlich vieler Funktionswerte.
Mittelpunktregel
Die Mittelpunktregel verwendet pro Teilintervall den Funktionswert in der Mitte. Sie ist für lineare Funktionen exakt und besitzt bei glatten Funktionen einen Fehler zweiter Ordnung.
Keplersche Fassregel
Die Keplersche Fassregel entspricht der Simpson-Regel auf genau zwei Teilintervallen. Die Gewichte 1, 4 und 1 entstehen durch die Integration der quadratischen Interpolationsparabel.
Zusammengesetzte Simpson-Formel
Für längere Intervalle wird die Simpson-Regel abschnittsweise angewendet. Je zwei Teilintervalle bilden einen gemeinsamen Parabelabschnitt. Daher muss die Zahl der Teilintervalle gerade sein.
Referenzwert dieser Seite
Der angezeigte Referenzwert wird intern mit einer sehr feinen zusammengesetzten Simpson-Rechnung bestimmt. Er ist eine numerische Vergleichsgröße und kein symbolisch exakter Integralwert.
Problematische Funktionen
Sprungstellen, Polstellen, stark oszillierende Funktionen oder nicht definierte Funktionswerte können die Näherung erheblich verschlechtern. Das Intervall sollte dann aufgeteilt oder ein spezialisiertes Verfahren verwendet werden.
Häufig gestellte Fragen
Was ist numerische Integration?
Numerische Integration berechnet ein bestimmtes Integral näherungsweise aus endlich vielen Funktionswerten.
Was ist die Mittelpunktregel?
Die Mittelpunktregel ersetzt die Funktion in jedem Teilintervall durch ein Rechteck mit der Höhe des Funktionswertes in der Intervallmitte.
Was ist die Keplersche Fassregel?
Die Keplersche Fassregel ist die Simpson-Regel über zwei gleich breite Teilintervalle und verwendet die Gewichtung 1, 4 und 1.
Warum muss die Zahl der Teilintervalle bei Simpson gerade sein?
Je zwei Teilintervalle werden durch eine gemeinsame quadratische Interpolationsparabel angenähert.
Wie wird h berechnet?
Bei 2m Teilintervallen gilt h = (b−a)/(2m).
Ist der Referenzwert exakt?
Nein. Er wird mit einer sehr feinen Simpson-Rechnung numerisch angenähert und dient als Vergleichswert.
Wann ist die Simpson-Formel besonders geeignet?
Sie eignet sich gut für glatte Funktionen ohne Singularitäten oder starke Oszillationen im Integrationsintervall.