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FORMEL · LERNMODUL

Matrizen

Matrizenrechnung, Multiplikation, Determinante und Inverse interaktiv bearbeiten.

Kernkatalog
Grundformel
A · A⁻¹ = I
Acdot A^{-1}=I

Einordnung

Matrizenrechnung, Multiplikation, Determinante und Inverse interaktiv bearbeiten.

Dimension A 2 × 2
Dimension B 2 × 2
det(A) 0
Invertierbarkeit A ja

Grundlagen

Matrixdarstellung, Rechenregeln und Transponieren

Allgemeine Matrix

\[ A=(a_{ij})_{m\times n} = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix} \]

Eine \(m\times n\)-Matrix besitzt \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten.

Regeln für Matrizen und Skalare

\[ A+B=B+A \]
\[ (A+B)+C=A+(B+C) \]
\[ A+0=A,\qquad A+(-A)=0 \]
\[ (\alpha+\beta)A=\alpha A+\beta A \]
\[ \alpha(A+B)=\alpha A+\alpha B \]

Transponierregeln

\[ (A^{\mathsf T})^{\mathsf T}=A \]
\[ (A+B)^{\mathsf T}=A^{\mathsf T}+B^{\mathsf T} \]
\[ (\alpha A)^{\mathsf T}=\alpha A^{\mathsf T} \]
\[ (AB)^{\mathsf T}=B^{\mathsf T}A^{\mathsf T} \]

Beim Transponieren werden Zeilen und Spalten vertauscht. Bei einem Produkt kehrt sich zusätzlich die Reihenfolge der Faktoren um.

Interaktiver Matrixrechner

Matrizen bis 6 × 6 eingeben und Operation auswählen

Matrizen und Dimensionen

Matrix A

Matrix B

Matrix A

Matrix B

Ergebnis

Aktuelle Operation A+B
Dimension des Ergebnisses
Operation zulässig
det(A)
Rang von A
Spur tr(A)
Symmetrisch
Operation möglich Die ausgewählte Matrixoperation ist definiert.

Matrizenmultiplikation

Zeile mal Spalte und Berechnung von \(c_{ij}\)
A
× B
= C
\[ C=AB,\qquad c_{ij}=\sum_{r=1}^{n}a_{ir}b_{rj} \]

Die \(i\)-te Zeile von \(A\) wird mit der \(j\)-ten Spalte von \(B\) skalar multipliziert.

Aktuelles Ergebniselement

Berechnung, bei langen Produkten automatisch mehrzeilig
\[ c_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} \]
Matrixprodukt definiert Die inneren Dimensionen stimmen überein.

Determinante

2×2, Regel von Sarrus und Laplace-Entwicklung

Determinante von A

\[ \det\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{pmatrix} =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \]
\[ \det\begin{pmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end{pmatrix} =aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh \]

Berechnung und Ergebnis

Determinante \(\displaystyle \det(A)=ad-bc\)
det(A)
Quadratische Matrix
Singulär
Gewählte Entwicklung

Inverse einer quadratischen Matrix

Existenzbedingung, Adjunkte und Gauss-Jordan-Verfahren

Definition und Verfahren

\[ A^{-1}A=AA^{-1}=I \]
\[ A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A), \qquad \det(A)\neq0 \]
\[ \left[A\,\middle|\,I\right] \longrightarrow \left[I\,\middle|\,A^{-1}\right] \]

Inverse und Kontrolle

Inverse Matrix \(\displaystyle A^{-1}\)
det(A)
Inverse vorhanden
Maximale Abweichung beider Produkte
Kontrollgleichung

Formelsammlung

Alle Regeln aus der Vorlage in korrigierter Notation

Allgemeine Matrix

\[ A=(a_{ij})_{m\times n} \]

\(a_{ij}\) bezeichnet das Element in Zeile \(i\) und Spalte \(j\).

Additionsregeln

\[ A+B=B+A \]
\[ (A+B)+C=A+(B+C) \]
\[ A+0=A,\qquad A+(-A)=0 \]

Skalarregeln

\[ (\alpha+\beta)A=\alpha A+\beta A \]
\[ \alpha(A+B)=\alpha A+\alpha B \]
\[ \alpha(\beta A)=(\alpha\beta)A \]

Transponierregeln

\[ (A^{\mathsf T})^{\mathsf T}=A \]
\[ (A+B)^{\mathsf T}=A^{\mathsf T}+B^{\mathsf T} \]
\[ (\alpha A)^{\mathsf T}=\alpha A^{\mathsf T} \]
\[ (AB)^{\mathsf T}=B^{\mathsf T}A^{\mathsf T} \]

Matrizenmultiplikation

\[ A\in\mathbb R^{m\times n},\quad B\in\mathbb R^{n\times p},\quad C=AB\in\mathbb R^{m\times p} \]
\[ c_{ij} =\sum_{r=1}^{n}a_{ir}b_{rj} =a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj} \]

Die Vorlage wurde hier korrigiert: Der zweite Faktor trägt den Index \(b_{rj}\), nicht \(b_{ri}\).

Determinante 2×2

\[ \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} =ad-bc \]

Regel von Sarrus

\[ \det\begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{pmatrix} =aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh \]

Nur für \(3\times3\)-Matrizen.

Laplace-Entwicklung nach der i-ten Zeile

\[ \det(A)= \sum_{j=1}^{n} a_{ij}(-1)^{i+j}\det(M_{ij}) \]

\(M_{ij}\) entsteht durch Streichen der \(i\)-ten Zeile und \(j\)-ten Spalte.

Laplace-Entwicklung nach der j-ten Spalte

\[ \det(A)= \sum_{i=1}^{n} a_{ij}(-1)^{i+j}\det(M_{ij}) \]

Inverse Matrix

\[ A^{-1}A=AA^{-1}=I \]
\[ A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A) \]

Voraussetzung: \(\det(A)\neq0\).

Inverse einer 2×2-Matrix

\[ \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} \]

Gauss-Jordan-Verfahren

\[ [A\mid I]\longrightarrow[I\mid A^{-1}] \]

Elementare Zeilenumformungen werden auf beide Blockhälften angewendet.

Interaktive Übung

Dimensionen, Matrixprodukt, Determinante und Inverse
Aufgabe Wählen Sie eine Antwort.
Richtige Antworten 0 Bearbeitete Aufgaben 0

Vertiefung

Struktur, Rang, Determinante und Invertierbarkeit

Dimensionen beachten

Für Addition und Subtraktion müssen beide Matrizen dieselbe Dimension besitzen. Bei der Multiplikation müssen nur die inneren Dimensionen übereinstimmen.

Matrixprodukt ist nicht kommutativ

Im Allgemeinen gilt \(AB\neq BA\). Außerdem kann eines der beiden Produkte definiert sein, während das andere nicht definiert ist.

Transponieren eines Produkts

Die Reihenfolge kehrt sich um: \((AB)^{\mathsf T}=B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}\). Das ist keine bloße Vertauschung der Hochzeichen.

Determinante und Invertierbarkeit

Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist. Bei Determinante null ist sie singulär.

Regel von Sarrus

Sarrus ist ein spezielles Rechenschema für \(3\times3\)-Matrizen und darf nicht auf größere Matrizen übertragen werden.

Laplace-Entwicklung

Der Laplace-Entwicklungssatz gilt für quadratische Matrizen beliebiger Größe. Zweckmäßig wird eine Zeile oder Spalte mit möglichst vielen Nullen gewählt.

Gauss-Jordan-Verfahren

Durch elementare Zeilenumformungen wird der linke Block von \([A\mid I]\) in die Einheitsmatrix überführt. Der rechte Block ist anschließend \(A^{-1}\).

Anwendungen

Matrizen werden in linearen Gleichungssystemen, Statistik, Ökonometrie, Computergrafik, Netzwerkanalyse, Optimierung, Physik und maschinellem Lernen eingesetzt.

Häufig gestellte Fragen

Matrixrechnung
Wann kann man Matrizen addieren?

Nur wenn beide Matrizen dieselbe Zeilen- und Spaltenzahl besitzen.

Wann ist das Produkt AB definiert?

Wenn die Spaltenzahl von \(A\) der Zeilenzahl von \(B\) entspricht.

Wie berechnet man cᵢⱼ?

\(c_{ij}=\sum_{r=1}^{n}a_{ir}b_{rj}\). Es wird die \(i\)-te Zeile von \(A\) mit der \(j\)-ten Spalte von \(B\) multipliziert.

Ist AB gleich BA?

Im Allgemeinen nicht. Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ.

Wann darf Sarrus verwendet werden?

Ausschließlich für \(3\times3\)-Matrizen.

Wann besitzt A eine Inverse?

Wenn \(A\) quadratisch ist und \(\det(A)\neq0\) gilt.

Wie prüft man eine berechnete Inverse?

Durch beide Multiplikationen: Es muss \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\) gelten.