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FORMEL · LERNMODUL

Vorschüssige Renten

Zahlungen zu Periodenbeginn und ihre finanzmathematischen Folgen verstehen.

Kernkatalog
Grundformel
R̈ₙ = r · q · ((qⁿ − 1) / (q − 1))
ddot R_n=rcdot qcdotfrac{q^n-1}{q-1}

Einordnung

Zahlungen zu Periodenbeginn und ihre finanzmathematischen Folgen verstehen.

Rate r 1.000,00 €
Rentenendwert Rₙ 13.206,79 €
Rentenbarwert R₀ 8.107,82 €
Zinsfaktor q 1,05

4 Rentenrechnung

Gleich hohe, regelmäßig wiederkehrende Zahlungen

Vorschüssige Zahlung

\[ t=0,1,\dots,n-1 \]

Die erste Rate wird sofort zum Zeitpunkt \(t=0\) gezahlt. Die letzte Rate erfolgt zu Beginn der letzten Periode bei \(t=n-1\).

Zinsfaktor

\[ q=1+i \]

Jede Rate wird bis zum Endzeitpunkt aufgezinst beziehungsweise zum Anfangszeitpunkt abgezinst.

4.1 Vorschüssige Renten

Endwert, Barwert, Faktoren und Umstellungen

Rentenendwert

\[ R_n=rq\frac{q^n-1}{i} \]

Rentenendwertfaktor

\[ REFV=\frac{q(q^n-1)}{i} \]

Rentenbarwert

\[ R_0=rq\frac{q^n-1}{iq^n} \]

Rentenbarwertfaktor

\[ RBFV=\frac{q(q^n-1)}{iq^n} \]

Zinssatz aus der Endwertgleichung

Funktion
\[ f(i)=-R_n+r\frac{q^{n+1}-q}{i} \]
Ableitung
\[ f'(i)=r\frac{i(n+1)q^n-q^{n+1}+1}{i^2} \]

Zinssatz aus der Barwertgleichung

Funktion
\[ f(i)=-R_0+rq\frac{q^n-1}{iq^n} \]
Ableitung
\[ f'(i)=-r\frac{q^n-ni-1}{i^2q^n} \]

Laufzeit bei gegebenem Rentenendwert

\[ n=\frac{\ln\left(1+\frac{iR_n}{rq}\right)}{\ln q} \]

Laufzeit bei gegebenem Rentenbarwert

\[ n=\frac{\ln\left(\frac{rq}{rq-iR_0}\right)}{\ln q} \]

Direkter Rentenrechner

Endwert und Barwert gleichzeitig berechnen

Eingabewerte

Ergebnisse

Rentenendwert Rₙ 13.206,79 € \(\displaystyle R_n=1.000\cdot1{,}05\cdot\frac{1{,}05^{10}-1}{0{,}05}\)
Rentenbarwert R₀
Rentenendwertfaktor REFV
Rentenbarwertfaktor RBFV
Summe der Einzahlungen
Zinsanteil im Endwert
Zinsfaktor q
Zahlungszeitpunkte
Anzahl der Zahlungen
Vorschüssige Rente berechnet Die erste Zahlung erfolgt sofort zum Zeitpunkt 0.

Rate, Zinssatz oder Laufzeit bestimmen

Endwert- oder Barwertgleichung

Bekannte Werte

Inverse Berechnung

Gesuchte Rate r
Verwendete Gleichung
Kontrollwert
Bereit Wählen Sie die gesuchte Größe und die zugrunde liegende Gleichung.

Zahlungs- und Bewertungsplan

Beitrag jeder vorschüssigen Rate
Zahlungen 1 bis 10 von 10
Nr.Zeitpunkt tRate rAufzinsungsfaktorBeitrag zu RₙAbzinsungsfaktorBeitrag zu R₀

Entwicklung der vorschüssigen Rente

Einzahlungen und Zinserträge bis zum Endwert
Rentenendwert nach k Zahlungen Summe der Einzahlungen Zinsanteil

Aktueller Schritt k

Anzahl Zahlungen k
Endwert nach k Zahlungen
Einzahlungen
Zinsanteil
Barwert der k Zahlungen
Zinsfaktor q
Vorschüssiger Effekt Jede Rate wird eine Periode länger verzinst als bei einer ansonsten gleichen nachschüssigen Rente.

Vertiefung

Bedeutung und mathematische Besonderheiten

Vorschüssige Zahlung

Bei einer vorschüssigen Rente erfolgt jede Rate zu Beginn der Periode. Deshalb enthält sowohl der Endwert- als auch der Barwertfaktor den zusätzlichen Faktor \(q\).

Rentenendwert

Der Rentenendwert fasst alle Zahlungen am Ende der Laufzeit zusammen. Frühere Zahlungen werden über mehr Perioden aufgezinst und tragen deshalb stärker zum Endwert bei.

Rentenbarwert

Der Rentenbarwert bewertet alle zukünftigen Zahlungen zum Zeitpunkt \(t=0\). Die sofortige erste Zahlung wird nicht abgezinst.

Berechnung des Zinssatzes

Der Zinssatz steht sowohl in der Basis \(q=1+i\) als auch im Nenner. Eine elementare Umstellung ist daher im Allgemeinen nicht möglich. Das Newton-Verfahren liefert eine numerische Lösung.

Korrigierte Ableitung der Barwertgleichung

Für die Barwertgleichung lautet die Ableitung \(f'(i)=-r(q^n-ni-1)/(i^2q^n)\). Die verkürzte Form \(q^n-nq\) wäre nicht allgemein korrekt.

Grenzfall ohne Zinsen

Für \(i=0\) gilt \(R_n=R_0=nr\). Der Rechner verwendet diesen Grenzwert automatisch und vermeidet dadurch eine Division durch null.

Bezeichnungen

Variablen der Rentenrechnung
\(r\)gleichbleibende Rate je Periode
\(R_n\)Rentenendwert am Ende der Laufzeit
\(R_0\)Rentenbarwert zum Anfangszeitpunkt
\(i\)Zinssatz je Periode als Dezimalzahl
\(q\)Zinsfaktor mit \(q=1+i\)
\(n\)Anzahl der vorschüssigen Zahlungen

Häufig gestellte Fragen

Vorschüssige Rentenrechnung
Was bedeutet vorschüssige Rente?

Die Zahlung erfolgt jeweils zu Beginn der Periode. Die erste Rate wird sofort bei \(t=0\) gezahlt.

Wie wird der Rentenendwert berechnet?

\(R_n=rq(q^n-1)/i\).

Wie wird der Rentenbarwert berechnet?

\(R_0=rq(q^n-1)/(iq^n)\).

Wie unterscheiden sich vorschüssige und nachschüssige Renten?

Bei der vorschüssigen Rente erfolgt jede Zahlung eine Periode früher. Endwert und Barwert sind deshalb jeweils um den Faktor \(q\) höher.

Wie wird der Zinssatz bestimmt?

Der Zinssatz wird numerisch bestimmt, beispielsweise mit dem Newton-Verfahren. Der Rechner zeigt die einzelnen Iterationen.

Was passiert bei einem Zinssatz von null?

Ohne Verzinsung entsprechen Endwert und Barwert der Summe der Zahlungen: \(R_n=R_0=nr\).