FORMEL · LERNMODUL

pq-Formel

Nullstellen quadratischer Gleichungen berechnen und den Lösungsweg prüfen.

Kernkatalog
Grundformel
\[x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\]
x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}

Einordnung

Nullstellen quadratischer Gleichungen berechnen und den Lösungsweg prüfen.

Halber p-Wert 0
Radikand 0
Nullstelle x₁ 0
Nullstelle x₂ 0

Grundlagen

Normalform und pq-Formel

Normalform

Die pq-Formel setzt voraus, dass der Koeffizient vor \(x^2\) gleich 1 ist.

\[x^2+px+q=0\]

pq-Formel

Die beiden möglichen Lösungen werden durch Plus und Minus unterschieden.

\[x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\]

Radikand

Der Ausdruck unter der Wurzel entscheidet über die Zahl reeller Lösungen.

\[R=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\]

Lösungsfälle

\[ \begin{aligned} R>0&:\ \text{zwei reelle Lösungen}\\ R=0&:\ \text{eine doppelte Lösung}\\ R<0&:\ \text{keine reelle Lösung} \end{aligned} \]

pq-Rechner

p und q per Schieberegler oder Zahleneingabe festlegen

Koeffizienten

Ergebnis

Lösungsformel \(\displaystyle x_{1,2}=3\pm1\) \(\displaystyle x^2-6x+8=0\)
\(-p/2\)
Radikand \(R\)
\(\sqrt{R}\)
Lösung x₁
Lösung x₂
Scheitelpunkt
Zwei reelle Lösungen Der Radikand ist positiv.

Rechnung Schritt für Schritt

Einsetzen, Radikand berechnen und Lösungen bestimmen
Schritt 1 von 5
Normalform erkennen

Probe der Lösungen

Einsetzen in \(x^2+px+q\)
Lösung\(x^2\)\(px\)\(q\)Summe
Probe Die berechneten reellen Lösungen erfüllen die Gleichung.

Funktionsgraph

Parabel \(y=x^2+px+q\)
\(y=x^2+px+q\) Symmetrieachse reelle Nullstellen

Geometrische Einordnung

Symmetrieachse
Scheitelwert
y-Achsenabschnitt
Schnittpunkte mit x-Achse
Interpretation Die x-Koordinate des Scheitelpunkts und die Mitte zwischen den Nullstellen liegen beide bei \(-p/2\).

Formelsammlung

pq-Formel und verwandte Beziehungen

Normalform

\[x^2+px+q=0\]

Voraussetzung für die direkte Anwendung der pq-Formel.

pq-Formel

\[x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\]

Berechnet die Lösungen der Normalform.

Radikand

\[R=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\]

Entscheidet über die Zahl reeller Lösungen.

Scheitelpunkt

\[S\left(-\frac{p}{2}\,\middle|\,q-\frac{p^2}{4}\right)\]

Die x-Koordinate stimmt mit der Mitte der Lösungen überein.

Summe der Lösungen

\[x_1+x_2=-p\]

Satz von Vieta.

Produkt der Lösungen

\[x_1x_2=q\]

Satz von Vieta.

Interaktive Übung

Radikand, Lösungszahl oder Nullstellen bestimmen
Aufgabe Wählen Sie eine Antwort.
Richtige Antworten 0 Bearbeitete Aufgaben 0

Vertiefung

Anwendung, Herleitung und typische Fehler

Normalform herstellen

Liegt eine Gleichung in der Form ax²+bx+c=0 vor, wird zunächst durch a geteilt. Danach gilt p=b/a und q=c/a.

Bedeutung des Radikanden

Der Radikand entspricht einem Viertel der üblichen Diskriminante der Normalform. Sein Vorzeichen entscheidet über zwei, eine oder keine reelle Lösung.

Zusammenhang mit dem Scheitelpunkt

Die Symmetrieachse der Parabel liegt bei x=-p/2. Ist der Scheitelwert negativ, schneidet die nach oben geöffnete Normalparabel die x-Achse zweimal.

Satz von Vieta

Bei zwei Lösungen gilt x1+x2=-p und x1·x2=q. Diese Beziehungen eignen sich zur Kontrolle und teilweise auch zum schnellen Lösen einfacher Gleichungen.

Typische Fehler

Häufig werden das Minus vor p/2, die Klammer beim Quadrieren oder das Minus vor q vergessen. Der vollständige Radikand lautet immer (p/2)²-q.

Keine reelle Lösung

Ist der Radikand negativ, existieren keine reellen Lösungen. Im Bereich der komplexen Zahlen lassen sich dennoch zwei Lösungen angeben.

Häufig gestellte Fragen

pq-Formel und quadratische Gleichungen
Wann darf die pq-Formel angewendet werden?

Direkt nur bei Gleichungen der Form x²+px+q=0.

Wie lautet die pq-Formel?

\(x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{(\frac p2)^2-q}\).

Was bedeutet der Ausdruck unter der Wurzel?

Er entscheidet über die Zahl reeller Lösungen: positiv zwei, null eine doppelte, negativ keine reelle Lösung.

Was mache ich bei ax²+bx+c=0?

Zuerst durch a teilen. Dann ist p=b/a und q=c/a.

Wie kann ich die Lösungen prüfen?

Jede berechnete Lösung wird in x²+px+q eingesetzt. Das Ergebnis muss null sein.

Wie hängt die pq-Formel mit Vieta zusammen?

Für die Lösungen gilt x₁+x₂=-p und x₁x₂=q.

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