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FORMEL · LERNMODUL

Annuitätentilgung

Konstante Annuität, Zinsanteil, Tilgungsanteil und Restschuld berechnen.

Kernkatalog
Grundformel
A = K₀ · [i(1+i)ⁿ / ((1+i)ⁿ−1)]
A=K_0cdotfrac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}

Einordnung

Konstante Annuität, Zinsanteil, Tilgungsanteil und Restschuld berechnen.

Anfangskapital K₀ 100.000,00 €
Konstante Annuität A 12.950,46 €
Erste Tilgung T₁ 7.950,46 €
Gesamtzinsen 29.504,57 €

Grundidee der Annuitätentilgung

Konstante Zahlung, veränderte Anteile

Konstante Annuität

\[ A_1=A_2=\dots=A_n=A \]

Die Gesamtzahlung bleibt in allen Perioden konstant. Sie setzt sich jeweils aus Zinsbetrag und Tilgungsrate zusammen.

Zins und Tilgung

\[ A=Z_t+T_t \qquad Z_t=iK_{t-1} \]

Mit sinkender Restschuld fällt der Zinsbetrag. Weil die Annuität konstant bleibt, steigt die Tilgungsrate entsprechend an.

3.2 Annuitätentilgung

Formeln bei nachschüssiger Zahlung

Konstante Annuität

\[ A=\frac{i q^n}{q^n-1}K_0 \qquad\text{mit}\qquad q=1+i \]

Restschuld nach t Perioden

\[ K_t=\frac{q^n-q^t}{q^n-1}K_0 \]

Zinsbetrag der Periode t

\[ Z_t=\frac{i\left(q^n-q^{t-1}\right)}{q^n-1}K_0 \]

Tilgungsrate der Periode t

\[ T_t=\frac{i q^{t-1}}{q^n-1}K_0 \]

Barwert der Annuitäten

\[ K_0=\sum_{t=1}^{n}A(1+i)^{-t} \]

Interaktiver Annuitätenrechner

Zins- und Tilgungsanteile je Periode

Eingabewerte

Ergebnis für Periode 1

Konstante Annuität 12.950,46 € \(\displaystyle A=K_0\frac{i q^n}{q^n-1}\)
Zinsfaktor q
Restschuld vor Zahlung Kₜ₋₁
Zinsbetrag Zₜ
Tilgungsrate Tₜ
Restschuld nach Zahlung Kₜ
Gesamtzinsen
Gesamte Zahlungen
Tilgungsanteil der Annuität
Annuitätentilgung berechnet Die Annuität bleibt konstant. Der Zinsanteil sinkt, während der Tilgungsanteil steigt.

Vollständiger Tilgungsplan

Periodenweise Entwicklung
Perioden 1 bis 10 von 10
tRestschuld BeginnZinsbetrag ZₜTilgung TₜAnnuität ARestschuld Ende

Verlauf von Restschuld, Zins und Tilgung

Annuitätentilgung über die Laufzeit
Restschuld \(K_t\) Zinsbetrag \(Z_t\) Tilgungsrate \(T_t\) Annuität \(A\)

Ausgewählte Periode

Periode t
Restschuld Beginn
Zinsbetrag
Tilgungsrate
Annuität
Restschuld Ende
Typischer Verlauf Die Annuität bleibt konstant. Der Zinsbetrag sinkt mit der Restschuld, der Tilgungsbetrag steigt spiegelbildlich an.

Vertiefung

Bedeutung und Eigenschaften

Konstante Gesamtzahlung

Bei der Annuitätentilgung bleibt die Zahlung \(A\) in allen Perioden gleich. Das erleichtert die Liquiditätsplanung und ist der zentrale Unterschied zur Ratentilgung.

Sinkender Zinsanteil

Der Zinsbetrag wird auf die Restschuld zu Beginn der Periode berechnet. Da die Restschuld abnimmt, sinkt auch der Zinsanteil innerhalb der konstanten Annuität.

Steigender Tilgungsanteil

Weil \(A=Z_t+T_t\) gilt und \(A\) konstant bleibt, muss der Tilgungsanteil genau in dem Umfang steigen, in dem der Zinsanteil sinkt.

Restschuldverlauf

Die Restschuld nimmt nicht linear ab. Zu Beginn ist die Tilgung relativ gering, später steigt sie zunehmend an. Der Schuldenabbau beschleunigt sich deshalb im Zeitverlauf.

Zinsfaktor q

Mit \(q=1+i\) lassen sich Annuität, Restschuld, Zinsbetrag und Tilgungsrate kompakt darstellen. Der Zinssatz wird in den Formeln als Dezimalzahl verwendet.

Abgrenzung zur Ratentilgung

Bei der Ratentilgung bleibt der Tilgungsbetrag konstant und die Zahlung sinkt. Bei der Annuitätentilgung bleibt die Zahlung konstant und der Tilgungsbetrag steigt.

Bezeichnungen

Variablen der Annuitätentilgung
\(K_0\)Anfangskapital beziehungsweise ursprünglicher Darlehensbetrag
\(K_t\)Restschuld nach der Zahlung in Periode t
\(A\)Konstante Gesamtzahlung aus Zins und Tilgung
\(Z_t\)Zinsbetrag der Periode t
\(T_t\)Tilgungsrate der Periode t
\(q\)Zinsfaktor mit \(q=1+i\)

Häufig gestellte Fragen

Annuitätentilgung
Wie wird die Annuität berechnet?

\(A=\frac{i q^n}{q^n-1}K_0\) mit \(q=1+i\).

Wie wird die Restschuld nach t Perioden berechnet?

\(K_t=\frac{q^n-q^t}{q^n-1}K_0\).

Wie wird der Zinsbetrag einer Periode berechnet?

\(Z_t=iK_{t-1}\). Der Zins wird auf die Restschuld zu Beginn der Periode berechnet.

Warum steigt die Tilgungsrate?

Die Annuität bleibt konstant, während der Zinsbetrag sinkt. Daher wächst der verbleibende Tilgungsanteil von Periode zu Periode.

Wie hoch sind die gesamten Zinsen?

Die Gesamtzinsen ergeben sich aus \(nA-K_0\).

Was passiert bei einem Zinssatz von null Prozent?

Dann gilt \(A=K_0/n\). Jede Zahlung besteht vollständig aus Tilgung und die Restschuld sinkt linear.