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FORMEL · LERNMODUL

Potenz- und Exponentialfunktionen

Potenzgesetze, Exponentialwachstum und die e-Funktion interaktiv vergleichen.

Kernkatalog
Grundformel
\[f(x)=a\cdot b^x\]
f(x)=a\cdot b^x

Einordnung

Potenzgesetze, Exponentialwachstum und die e-Funktion interaktiv vergleichen.

Funktionswert f(x) 0
Ableitung f′(x) 0
Wachstumsfaktor 0
Verdopplung / Halbwert –

Grundlagen

Potenzfunktion, Exponentialfunktion und \(e^x\)

Potenzfunktion

Der Exponent \(\tau\) bestimmt den grundlegenden Verlauf, der Faktor \(a\) skaliert und spiegelt den Graphen.

\[f(x)=a x^\tau\]
\[x\ge 0\quad\text{bei beliebigem reellen }\tau\]

Ableitung der Potenzfunktion

Die Potenzregel reduziert den Exponenten um eins.

\[f'(x)=a\tau x^{\tau-1}\]

Exponentialfunktion

Die Variable steht im Exponenten. \(A\) ist der Anfangswert.

\[f(x)=A a^x,\qquad A>0,\ a>0,\ a\neq 1\]
\[f'(x)=A a^x\ln(a)\]

Natürliche Exponentialfunktion

Die Funktion mit der Basis \(e\) ist gleich ihrer eigenen Ableitung.

\[f(x)=e^x,\qquad f'(x)=e^x\]
\[e\approx 2{,}718281828\]

Natürliche Exponentialfunktion und Regeln für e-Funktionen

Definition, Ableitung, Integral und Exponentialgesetze

Natürliche Exponentialfunktion

Die Euler-Zahl \(e\) ist die natürliche Basis des exponentiellen Wachstums.

\[f(x)=e^x\]
\[e\approx 2{,}718281828459045\]

Ableitung und Integral

Die natürliche Exponentialfunktion bleibt beim Ableiten und Integrieren erhalten.

\[\frac{d}{dx}e^x=e^x\]
\[\int e^x\,dx=e^x+C\]

Produkt und Quotient

Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert beziehungsweise subtrahiert.

\[e^s\cdot e^t=e^{s+t}\]
\[\frac{e^s}{e^t}=e^{s-t}\]

Potenz, Kehrwert und Logarithmus

Die Potenzregel wird im Exponenten ausgeführt. \(\ln\) ist die Umkehrfunktion.

\[\left(e^s\right)^t=e^{st},\qquad e^{-s}=\frac{1}{e^s}\]
\[\ln(e^x)=x,\qquad e^{\ln x}=x\quad(x>0)\]

e-Regeln interaktiv prüfen

Exponenten \(s\) und \(t\) verändern und beide Seiten vergleichen

Exponenten

Numerische Kontrolle

Produktregel \(\displaystyle e^s\cdot e^t=e^{s+t}\)
Produkt \(e^s e^t\)
Zusammengefasst \(e^{s+t}\)
Quotient \(e^s/e^t=e^{s-t}\)
Potenz \((e^s)^t=e^{st}\)
Kehrwert \(e^{-s}=1/e^s\)
Maximale Rundungsdifferenz
Identität bestätigt Beide Seiten der Exponentialgesetze liefern denselben Wert.

Funktionsrechner

Drei Funktionstypen in einer eigenständigen Datei

Parameter

Ergebnisse

Aktuelle Funktion \(\displaystyle f(x)=x^2\) \(\displaystyle f'(x)=2x\)
Funktionswert
Ableitungswert
Funktionsart
Monotonie
y-Achsenabschnitt
Definitionsbereich
Gültige Eingabe Die Funktion ist im gewählten Bereich definiert.

Funktionsgraph

Funktion, Ableitung und Vergleichsfunktion
\(f(x)\) \(f'(x)\) Vergleichsfunktion

Darstellungsoptionen

Aktueller x-Wert
Aktueller y-Wert
Steigung an x
Grenzverhalten
Hinweis Sehr große Funktionswerte werden am Diagrammrand abgeschnitten, damit der Verlauf lesbar bleibt.

Exponentielles Wachstum und Zerfall

Verdopplungszeit, Halbwertszeit und kontinuierliche Rate

Einordnung der Exponentialfunktion

\[f(x)=A a^x=Ae^{kx},\qquad k=\ln(a)\]

Bei \(a>1\) liegt Wachstum vor. Bei \(0<a<1\) liegt Zerfall vor. Die Basis \(a=1\) ergibt eine konstante Funktion.

Zeitkennzahlen

Kontinuierliche Rate k
Prozentuale Änderung je Einheit
Verdopplungszeit
Halbwertszeit
Nur für Exponentialfunktionen Wählen Sie den Modus Exponentialfunktion oder natürliche Exponentialfunktion.

Formelsammlung

Potenz- und Exponentialfunktionen

Potenzfunktion

\[f(x)=a x^\tau\]

Allgemeine Form einer Potenzfunktion.

Ableitung der Potenzfunktion

\[f'(x)=a\tau x^{\tau-1}\]

Potenzregel.

Exponentialfunktion

\[f(x)=A a^x\]

\(A>0,\ a>0,\ a\neq1\).

Ableitung der Exponentialfunktion

\[f'(x)=A a^x\ln(a)\]

Das Vorzeichen hängt von \(\ln(a)\) ab.

Natürliche Exponentialfunktion

\[f(x)=e^x,\qquad f'(x)=e^x\]

\(e\approx2{,}718281828\).

Umrechnung der Basis

\[A a^x=Ae^{x\ln(a)}\]

Jede positive Basis lässt sich mit \(e\) darstellen.

Produktregel für e-Potenzen

\[e^s\cdot e^t=e^{s+t}\]

Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert.

Quotientenregel für e-Potenzen

\[\frac{e^s}{e^t}=e^{s-t}\]

Beim Dividieren werden die Exponenten subtrahiert.

Potenz einer e-Potenz

\[\left(e^s\right)^t=e^{st}\]

Die Exponenten werden multipliziert.

Negativer Exponent

\[e^{-s}=\frac{1}{e^s}\]

Ein negativer Exponent bildet den Kehrwert.

Ableitung und Integral

\[\frac{d}{dx}e^x=e^x,\qquad \int e^x\,dx=e^x+C\]

Die Funktion bleibt unter Ableitung und Integration erhalten.

Umkehrbeziehungen

\[\ln(e^x)=x,\qquad e^{\ln x}=x\quad(x>0)\]

Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion von \(e^x\).

Verdopplungszeit

\[T_2=\frac{\ln 2}{\ln a}\qquad(a>1)\]

Zeit bis zur Verdopplung.

Halbwertszeit

\[T_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln a}\qquad(0<a<1)\]

Zeit bis zur Halbierung.

Interaktive Übung

Funktionstyp, Ableitung oder Wachstum bestimmen
Aufgabe Wählen Sie eine Antwort.
Richtige Antworten 0 Bearbeitete Aufgaben 0

Vertiefung

Eigenschaften und typische Anwendungen

Potenzfunktionen

Potenzfunktionen beschreiben Zusammenhänge, bei denen eine Variable mit einem festen Exponenten auftritt. Je nach Exponent entstehen Parabeln, Wurzelfunktionen, Hyperbeln oder andere typische Kurven.

Exponentialfunktionen

Bei Exponentialfunktionen steht die Variable im Exponenten. Gleiche Zeitschritte führen daher stets zum gleichen relativen Änderungsfaktor.

Wachstum und Zerfall

Für \(a>1\) wächst die Funktion. Für \(0<a<1\) fällt sie. Der Anfangswert ist \(f(0)=A\).

Natürliche Exponentialfunktion

Die Funktion \(e^x\) ist in Analysis, Statistik, Finanzmathematik, Physik und Technik zentral, weil sie gleich ihrer eigenen Ableitung ist.

Logarithmus als Umkehrfunktion

Exponentialgleichungen werden häufig durch Logarithmieren gelöst. Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion von \(e^x\).

Anwendungen

Typische Anwendungen sind Zinseszins, Bevölkerungswachstum, radioaktiver Zerfall, Abkühlung, Diffusion, epidemische Modelle und kontinuierliche Verzinsung.

Häufig gestellte Fragen

Potenz- und Exponentialfunktionen
Was ist eine Potenzfunktion?

Eine Potenzfunktion hat die Form \(f(x)=a x^\tau\). Der Exponent \(\tau\) bestimmt den Verlauf.

Was ist eine Exponentialfunktion?

Eine Exponentialfunktion hat die Form \(f(x)=A a^x\). Die Variable steht im Exponenten.

Wann liegt Wachstum vor?

Bei \(a>1\) wächst die Exponentialfunktion.

Wann liegt Zerfall vor?

Bei \(0<a<1\) fällt die Exponentialfunktion.

Warum ist \(e^x\) besonders?

Die natürliche Exponentialfunktion ist gleich ihrer eigenen Ableitung.

Welche Rechenregeln gelten für e-Potenzen?

Es gelten \(e^s e^t=e^{s+t}\), \(e^s/e^t=e^{s-t}\) und \((e^s)^t=e^{st}\).

Wie lautet das Integral von \(e^x\)?

Eine Stammfunktion ist \(e^x+C\).

Was ist die Umkehrfunktion von \(e^x\)?

Die Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus \(\ln(x)\).

Wie berechnet man die Verdopplungszeit?

\(T_2=\ln(2)/\ln(a)\) für \(a>1\).

Wie berechnet man die Halbwertszeit?

\(T_{1/2}=\ln(1/2)/\ln(a)\) für \(0<a<1\).