Aussagenlogik und Wahrheitstafeln
Logische Verknüpfungen, Implikation, Äquivalenz und Wahrheitstafeln.
pland q,;plor q,;pRightarrow qEinordnung
Logische Verknüpfungen, Implikation, Äquivalenz und Wahrheitstafeln.
Aussagenlogik und Wahrheitstafeln
Wahrheitswerte setzen, logische Verknüpfungen prüfen und eigene Formeln auswerten.
Grundlagen
Aussagen und WahrheitswerteFragen, Aufforderungen oder mehrdeutige Formulierungen sind keine Aussagen im logischen Sinn, weil ihr Wahrheitswert nicht eindeutig feststeht.
Wahrheitswert von p
Wahrheitswert von q
Aktuelle Auswertung
Änderung erfolgt sofortVerknüpfungszeichen
Fünf zentrale OperatorenNegation
Kehrt den Wahrheitswert von p um.
¬p = nicht pKonjunktion
Nur wahr, wenn p und q wahr sind.
p ∧ q = p und qDisjunktion
Wahr, wenn mindestens eine Aussage wahr ist.
p ∨ q = p oder qImplikation
Nur bei p = W und q = F falsch.
p → q = wenn p, dann qÄquivalenz
Wahr bei identischen Wahrheitswerten.
p ↔ q = genau dann, wennWahrheitstafel
Zeile anklicken, um p und q zu übernehmen| p | q | ¬p | p ∧ q | p ∨ q | p → q | p ↔ q |
|---|
Formelprüfer
Eigene Aussagen und AusdrückeAussage zusammensetzen
Logischen Ausdruck prüfen
Zulässig: ! oder ¬, & oder ∧, | oder ∨, -> oder →, <-> oder ↔ sowie Klammern.
Formelsammlung
Äquivalenzen und UmformungenDoppelte Negation
Zweifache Verneinung ergibt die ursprüngliche Aussage.
Implikation
Die Implikation kann als Disjunktion geschrieben werden.
Kontraposition
Eine Implikation ist zu ihrer Kontraposition äquivalent.
Äquivalenz
Äquivalenz ist eine wechselseitige Implikation.
De Morgan I
Negierte Konjunktion wird zur Disjunktion der Negationen.
De Morgan II
Negierte Disjunktion wird zur Konjunktion der Negationen.
Kommutativgesetz
Die Reihenfolge ist bei ∧ und ∨ unerheblich.
Distributivgesetz
Logische Operatoren lassen sich analog zur Algebra verteilen.
Interaktive Übung
Wahr oder falsch entscheidenAufgabe
Vertiefung
Einordnung und typische FehlerWozu dienen Wahrheitstafeln?
Wahrheitstafeln erfassen systematisch alle möglichen Belegungen einer logischen Formel. Bei zwei Aussagenvariablen gibt es vier, bei drei Variablen acht und allgemein bei n Variablen 2 hoch n mögliche Belegungen.
Die formale Implikation
Die Implikation p → q ist nur dann falsch, wenn p wahr und q falsch ist. Sie beschreibt nicht zwingend eine zeitliche oder ursächliche Beziehung. Ist p falsch, gilt die Implikation formal als wahr.
Tautologie und Kontradiktion
Eine Tautologie ist bei jeder Belegung wahr. Eine Kontradiktion ist bei jeder Belegung falsch. Eine Formel heißt erfüllbar, wenn sie bei mindestens einer Belegung wahr ist.
Logische Äquivalenz
Zwei Formeln sind logisch äquivalent, wenn ihre Ergebnisspalten in der vollständigen Wahrheitstafel übereinstimmen. Die Äquivalenz kann daher durch systematischen Vergleich aller Belegungen geprüft werden.
Häufig gestellte Fragen
SEO- und LernbereichWas ist eine Aussage in der Aussagenlogik?
Eine Aussage ist ein Satz, dem eindeutig der Wahrheitswert wahr oder falsch zugeordnet werden kann.
Was bedeutet die Negation einer Aussage?
Die Negation kehrt den Wahrheitswert einer Aussage um. Aus wahr wird falsch und aus falsch wird wahr.
Wann ist eine Konjunktion wahr?
Die Konjunktion p ∧ q ist ausschließlich dann wahr, wenn p und q beide wahr sind.
Wann ist eine Disjunktion wahr?
Die inklusive Disjunktion p ∨ q ist wahr, wenn mindestens eine der Aussagen wahr ist.
Wann ist eine Implikation falsch?
Eine Implikation p → q ist nur bei p = wahr und q = falsch falsch.
Was ist eine Tautologie?
Eine Tautologie ist eine logische Formel, die bei jeder möglichen Belegung wahr ist.
Was bedeutet logische Äquivalenz?
Zwei Formeln sind logisch äquivalent, wenn sie unter jeder Belegung denselben Wahrheitswert besitzen.