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FORMEL · LERNMODUL

Kosten, Erlös und Gewinn

Wirtschaftliche Funktionen, Deckungsbeitrag und Gewinnschwellen modellieren.

Kernkatalog
Grundformel
G(x) = E(x) − K(x)
G(x)=E(x)-K(x)

Einordnung

Wirtschaftliche Funktionen, Deckungsbeitrag und Gewinnschwellen modellieren.

Gesamtkosten K(x) 0
Erlös E(x) 0
Gewinn G(x) 0
Break-even-Menge 0

Grundlagen

Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen

Gesamtkostenfunktion

Die Gesamtkosten bestehen aus variablen Kosten und Fixkosten.

\[K(x)=K_v(x)+K_f(x)\]
\[\text{linear:}\qquad K_f(x)=K_f,\qquad K(x)=k_vx+K_f\]

Stückkostenfunktion

Die Gesamtkosten werden auf dieselbe Bezugsmenge \(x\) verteilt.

\[ k(x)=\frac{K(x)}{x} =\frac{K_v(x)+K_f(x)}{x} =\frac{K_v(x)}{x}+\frac{K_f(x)}{x} =k_v(x)+k_f(x) \]

Variable und fixe Stückkosten

\[k_v(x)=\frac{K_v(x)}{x}\]
\[k_f(x)=\frac{K_f(x)}{x}\]

Erlös- und Gewinnfunktion

\[E(x)=x\,p(x)\]
\[\text{bei konstantem Preis:}\qquad E(x)=px\]
\[G(x)=E(x)-K(x)=x\,p(x)-K(x)\]

Stückgewinn

\[g(x)=\frac{G(x)}{x}=p(x)-k(x)\]

Deckungsbeitrag

\[D(x)=E(x)-K_v(x)=G(x)+K_f(x)\]
\[d=p-k_v\]

Unternehmensrechner

Lineares Kosten- und Erlösmodell

Parameter

Ergebnisse

Aktuelles lineares Modell \(\displaystyle K(x)=45x+12\,000\) \(\displaystyle E(x)=90x\) \(\displaystyle G(x)=45x-12\,000\)
Auswertungsmenge x
Variable Kosten Kv(x)
Gesamtkosten K(x)
Erlös E(x)
Gewinn G(x)
Deckungsbeitrag D(x)
Stückkosten k(x)
Variable Stückkosten kv(x)
Fixe Stückkosten kf(x)
Stückgewinn g(x)
Deckungsbeitrag je Stück d
Break-even-Menge
Gewinnzone Der Erlös übersteigt die Gesamtkosten.

Funktionsgraph

Kosten, Erlös, Gewinn und Break-even
Gesamtkosten K(x) Erlös E(x) Gewinn G(x) Fixkostenfunktion Kf(x)=Kf

Darstellungsoptionen

Aktuelle Menge
Kosten bei x
Erlös bei x
Gewinn bei x
Interpretation Am Break-even-Point schneiden sich Kosten- und Erlösfunktion. Dort gilt \(G(x)=0\).

Wertetabelle

Ausgewählte Produktionsmengen
Menge xKv(x)K(x)E(x)G(x)D(x)k(x)kf(x)g(x)

Formelsammlung

Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen

Gesamtkostenfunktion

\[K(x)=K_v(x)+K_f(x)\]

Variable Kosten plus fixe Kostenfunktion.

Lineare Gesamtkosten

\[K_f(x)=K_f,\qquad K(x)=k_vx+K_f\]

Konstante variable Stückkosten.

Stückkostenfunktion

\[ k(x)=\frac{K(x)}{x} =\frac{K_v(x)+K_f(x)}{x} =k_v(x)+k_f(x) \]

Nur für \(x>0\); sämtliche Kosten werden auf dieselbe Menge \(x\) bezogen.

Variable Stückkosten

\[k_v(x)=\frac{K_v(x)}{x}\]

Im linearen Modell konstant gleich \(k_v\).

Fixe Stückkosten

\[k_f(x)=\frac{K_f(x)}{x}\]

Im linearen Modell gilt \(K_f(x)=K_f\); dadurch fallen die fixen Stückkosten mit wachsender Menge.

Erlösfunktion

\[E(x)=x\,p(x)\]

Bei konstantem Preis: \(E(x)=px\).

Gewinnfunktion

\[G(x)=E(x)-K(x)\]

Erlös abzüglich Gesamtkosten.

Stückgewinn

\[g(x)=\frac{G(x)}{x}=p(x)-k(x)\]

Gewinn je Einheit.

Deckungsbeitrag

\[D(x)=E(x)-K_v(x)=G(x)+K_f(x)\]

Beitrag zur Deckung der Fixkosten und zum Gewinn.

Deckungsbeitrag je Stück

\[d=p-k_v\]

Preis minus variable Stückkosten.

Break-even-Point

\[x_{\mathrm{BE}}=\frac{K_f}{p-k_v}\]

Gilt im linearen Modell bei \(p>k_v\).

Gewinn im linearen Modell

\[G(x)=(p-k_v)x-K_f\]

Deckungsbeitrag je Stück mal Menge minus Fixkosten.

Interaktive Übung

Kosten, Gewinn und Deckungsbeitrag
Aufgabe Wählen Sie eine Antwort.
Richtige Antworten 0 Bearbeitete Aufgaben 0

Vertiefung

Betriebswirtschaftliche Interpretation

Fixkosten und variable Kosten

Allgemein werden variable Kosten als \(K_v(x)\) und fixe Kosten als \(K_f(x)\) geschrieben. Im hier verwendeten linearen Grundmodell ist \(K_f(x)=K_f\) konstant, während \(K_v(x)=k_vx\) gilt.

Stückkostendegression

Bei konstanten variablen Stückkosten sinken die gesamten Stückkosten mit wachsender Menge, weil die Fixkosten auf mehr Einheiten verteilt werden.

Deckungsbeitrag

Der Deckungsbeitrag zeigt, welcher Betrag nach Abzug der variablen Kosten zur Deckung der Fixkosten und anschließend zur Gewinnerzielung verbleibt.

Break-even-Point

An der Gewinnschwelle sind Erlös und Gesamtkosten gleich. Unterhalb entsteht Verlust, oberhalb Gewinn, sofern der Preis die variablen Stückkosten übersteigt.

Stückgewinn

Der Stückgewinn ist die Differenz zwischen Preis und Stückkosten. Er kann trotz positiven Deckungsbeitrags negativ sein, solange die Fixkosten noch nicht vollständig gedeckt sind.

Anwendungen

Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen werden in Preisentscheidungen, Produktionsplanung, Investitionsrechnung, Unternehmenssimulationen und Break-even-Analysen eingesetzt.

Häufig gestellte Fragen

Kosten, Erlös, Gewinn und Deckungsbeitrag
Wie lautet die Gesamtkostenfunktion?

\(K(x)=K_v(x)+K_f(x)\). Im linearen Modell wird \(K_f(x)=K_f\) als konstant angenommen, sodass \(K(x)=k_vx+K_f\) gilt.

Wie berechnet man die Stückkosten?

\(k(x)=K(x)/x\), wobei \(x>0\) gelten muss.

Warum fallen fixe Stückkosten?

Allgemein gilt \(k_f(x)=K_f(x)/x\). Im linearen Modell mit \(K_f(x)=K_f\) werden die konstanten Fixkosten auf eine steigende Zahl von Einheiten verteilt.

Wie lautet die Gewinnfunktion?

\(G(x)=E(x)-K(x)\).

Was ist der Deckungsbeitrag?

\(D(x)=E(x)-K_v(x)\). Er dient zuerst zur Deckung der Fixkosten und danach zur Gewinnerzielung.

Wie berechnet man den Break-even-Point?

Im linearen Modell gilt \(x_{\mathrm{BE}}=K_f/(p-k_v)\), sofern \(p>k_v\).