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FORMEL · LERNMODUL

Logarithmusfunktionen

Logarithmusregeln, natürliche Logarithmen, Ableitung und Graph verstehen.

Kernkatalog
Grundformel
logᵦ(x) = ln(x) / ln(b)
log_b(x)=frac{ln(x)}{ln(b)}

Einordnung

Logarithmusregeln, natürliche Logarithmen, Ableitung und Graph verstehen.

Funktionswert f(x) 0
Ableitung f′(x) 0
Nullstelle x₀ 0
Asymptote 0

Grundlagen

Natürlicher Logarithmus und Umkehrbeziehungen

Logarithmusfunktion

Der Faktor \(a\) streckt, staucht oder spiegelt den Graphen. Der Parameter \(b\) verschiebt ihn horizontal.

\[f(x)=a\ln(x+b)\]
\[x+b>0\quad\Longleftrightarrow\quad x>-b\]

Ableitung

Die Ableitung folgt aus der Kettenregel.

\[f'(x)=\frac{a}{x+b}\]

Grundwerte und Umkehrfunktion

\[\ln(1)=0,\qquad \ln(e)=1\]
\[e^{\ln(x)}=x\quad(x>0),\qquad \ln(e^x)=x\]

Nullstelle und Asymptote

Für \(a\neq0\) liegt die Nullstelle dort, wo das Logarithmusargument gleich 1 ist.

\[x_0=1-b\]
\[\text{senkrechte Asymptote:}\quad x=-b\]

Logarithmusfunktions-Rechner

Parameter \(a\), \(b\) und \(x\) verändern

Parameter

Ergebnisse

Aktuelle Funktion \(\displaystyle f(x)=2\ln(x+1)\) \(\displaystyle f'(x)=\frac{2}{x+1}\) \(\displaystyle f(2)=2\ln(2+1)\)
Auswertungsstelle x
Funktionswert f(x)
Ableitungswert f′(x)
Logarithmusargument x+b
Definitionsbereich
Nullstelle
Asymptote
Monotonie
Gültige Eingabe Das Logarithmusargument ist positiv.

Regeln für den natürlichen Logarithmus prüfen

Positive Werte \(x\), \(y\) und Exponent \(p\)

Prüfwerte

Numerische Kontrolle

Produktregel \(\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)\)
Produktregel
Quotientenregel
Potenzregel
\(e^{\ln(x)}=x\)
\(\ln(e^p)=p\)
Maximale Differenz
Identitäten bestätigt Beide Seiten der Logarithmusregeln liefern denselben Wert.

Funktionsgraph

Logarithmusfunktion, Ableitung und senkrechte Asymptote
\(f(x)\) \(f'(x)\) Asymptote \(x=-b\)

Darstellungsoptionen

Aktueller x-Wert
Aktueller y-Wert
Steigung an x
Grenzverhalten
Graphische Bedeutung Der Graph nähert sich der Geraden \(x=-b\), ohne sie zu schneiden.

Formelsammlung

Natürlicher Logarithmus und Logarithmusgesetze

Logarithmusfunktion

\[f(x)=a\ln(x+b)\]

Definitionsbedingung: \(x+b>0\).

Ableitung

\[f'(x)=\frac{a}{x+b}\]

Folgt aus der Kettenregel.

Grundwerte

\[\ln(1)=0,\qquad \ln(e)=1\]

Die wichtigsten Referenzwerte.

Umkehrbeziehungen

\[e^{\ln(x)}=x\quad(x>0),\qquad \ln(e^x)=x\]

\(\ln\) und \(e^x\) sind Umkehrfunktionen.

Produktregel

\[\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)\quad(x,y>0)\]

Das Produkt wird zur Summe.

Quotientenregel

\[\ln\left(\frac{x}{y}\right)=\ln(x)-\ln(y)\quad(x,y>0)\]

Der Quotient wird zur Differenz.

Potenzregel

\[\ln(x^p)=p\ln(x)\quad(x>0)\]

Der Exponent wird zum Faktor.

Nullstelle und Asymptote

\[x_0=1-b,\qquad x_{\mathrm{A}}=-b\]

Gilt für \(a\neq0\).

Interaktive Übung

Logarithmusregeln, Definitionsbereich und Ableitung
Aufgabe Wählen Sie eine Antwort.
Richtige Antworten 0 Bearbeitete Aufgaben 0

Vertiefung

Eigenschaften, Umkehrfunktion und Anwendungen

Definitionsbereich

Logarithmen sind im Bereich der reellen Zahlen nur für positive Argumente definiert. Bei \(f(x)=a\ln(x+b)\) muss deshalb \(x>-b\) gelten.

Horizontale Verschiebung

Der Parameter \(b\) verschiebt die Grundfunktion \(\ln(x)\) horizontal. Gleichzeitig wandert die senkrechte Asymptote von \(x=0\) nach \(x=-b\).

Streckung und Spiegelung

Der Faktor \(a\) verändert die vertikale Skalierung. Für \(a<0\) wird der Graph an der x-Achse gespiegelt.

Umkehrfunktion

Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion von \(e^x\). Deshalb gelten \(e^{\ln(x)}=x\) für \(x>0\) und \(\ln(e^x)=x\).

Logarithmusgesetze

Produkte, Quotienten und Potenzen lassen sich durch Logarithmen in Summen, Differenzen und Faktoren umwandeln. Das erleichtert algebraische Umformungen.

Anwendungen

Logarithmusfunktionen treten bei Wachstumsmodellen, Zinsrechnung, Schallpegeln, pH-Werten, Informationsmaßen, Statistik und der Lösung von Exponentialgleichungen auf.

Häufig gestellte Fragen

Logarithmusfunktionen und ln-Regeln
Was ist die natürliche Logarithmusfunktion?

Die Funktion \(\ln(x)\) ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion \(e^x\).

Welchen Definitionsbereich besitzt \(\ln(x)\)?

Der natürliche Logarithmus ist nur für \(x>0\) definiert.

Wie lautet die Ableitung von \(a\ln(x+b)\)?

\(f'(x)=a/(x+b)\).

Wo liegt die Nullstelle von \(a\ln(x+b)\)?

Für \(a\neq0\) gilt \(x_0=1-b\).

Wo liegt die senkrechte Asymptote?

Sie liegt bei \(x=-b\).

Welche Logarithmusgesetze gelten?

\(\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)\), \(\ln(x/y)=\ln(x)-\ln(y)\) und \(\ln(x^p)=p\ln(x)\).